10)Что такое монотонная и ограниченная последовательность.

Если а₁>a₂>a₃ (не возрастающая); а₁ <a₂ <a₃ (неубывающая) – монотонная последовательность. Последовательность называется ограниченной, если существует числа А и В, которые её ограничивают.

11)Что называется пределом посл-сти; записать определение того, что данное число не явл. Пределом посл-сти.

Число а называется пределом последовательности а_N, если для любого положительного числа Е найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |а_N - а |<E (E>0, N: n>N: |a_N-a|<E)

Число а не является пределом последовательности а_N, если найдется такое положительного число Е для любого натурального числа N, что найдется такое число n>N, при котором выполняется неравенство |а_N - а |E (E>0, N: n>N: |a_N-a|E)

12)Сформулировать св-ва пределов посл-стей в уточненной формулировке.

Предполагаем, что существуют конечные пределы последовательностей а_N и в_N, с- постоянное число.( c=const)

1\ 2\ 3\

4\

5\ ,

13)Доказать 2 основных св-ва сходящихся посл-стей.

Т1:Последовательность не может иметь более 1 предела.

 U_a, U_b: U_a,U_b=  \ для U_a, N₁: n>N₁ a_n U_a \ для U_b, N₂: n>N₂ a_n U_b

N=max(N₁;N₂): n>N a_n U_a,U_b=  

Т2:{a_n}-сходящаяся  а:

N: n>N |a_n-a| <E \ a-E<a_n<a+E

( A₁- меньше) A=min(A₁;a-E)  A  a_n  B

(B₁- больше) B=max(B₁;a+E )

{a_n}-сходящаяся  а: \ {a_n}-сходящаяся  {a_n}- ограничена

14)Какое из них дает необходимое условие сходимости.

Условие ограниченности является необходимым условием сходимости.

{a_N}-сход. a: a= ; N: n>N |а_N - а |<E; a-E< a_N <a+E

( A₁- меньше) A=min(A₁;a-E)  A  a_N  B

(B₁- больше) B=max(B₁;a+E )

15)Сформулировать теорему, которая дает достаточное условие сходимости посл-сти.

Теорема Веерштасса: любая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

17)Что такое бесконечно малая и бесконечно большая последовательности.

Б.б.п.- посл-сть a_N  при n равна +, если для любого положительного числа найдется натуральное число N.

1 ] a_N  + ( +)  M>0 N: n>N, a_N>M б.б.п.

2] a_N  -  ( - )  M<0 N: n>N, a_N<M

{a_N}_N - б.б. ( )  M>0 N: n>N, a_N>M

{a_N}_N - б.м. ( 0)  E>0 N: n>N, a_N<E

Замечание: {в_N}- сходящаяся; а_N =(в_N -в) – б.м.

18)Сформулировать св-ва б.м. посл-стей.

1] Произведение ограниченной посл-сти на б.м. посл-сть представляет собой б.м. посл-сть.

2] Сумма или разность 2^Х б.м. посл-стей явл. б.м. посл-стей

3] Произведение любого конечного числа на б.м. посл-сть является б.м. посл-стью.

19)Что называется пределом функции.

О пр: : E>0 >0: 0<|x-a|<  |f(x)-A|<E

В определение предела ф-ции важно не значение ф-ции в этой точке, а поведение ф-ции при приближении x к значению а (с обеих сторон)

20)Сформулировать св-ва пределов ф-ции.

1\ 2\ 3\

4\

5\ ,

Если , а , то

21)Что называется односторонним пределом.

: E>0 >0 a-<x<a  |f(x)-A|<E

: E>0 >0 a<x<a+  |f(x)-A|<E

: E>0 c>0 |x|>c  |f(x)-A|<E

: E>0 c>0 x>c  |f(x)-A|<E

: E>0 c>0 x<-c  |f(x)-A|<E

22)Вывести 1 замечательный предел и следствие.

[1] |BD|=sinx \ |CA|=tgx \ sinx < x < tgx \ sinx < x \

\ x < tgx \

\ \ \Следствие: (на основе [1])

23)Записать 2 замечательный предел и вывести его следствие

\ Сл.1: \ f(x) e, lnf(x)lne=1

сл.2: \ cл.3:

24)Какие ф-ции называются бесконечно малой, ограниченной, бесконечно большой

Опр: : E>0 >0: 0<|x-a|<  |f(x)-A|<E

f(x)-б.м. ха E>0 >0 \ 0<|x-a|<  |f(x)|<E

Опр: f(x) –ограничена на [a;b]: m,M x: a  x  b m  f(x)  M

Опр: : E>0 >0: 0<|x-a|<  |f(x)-A|<E

f(x)-б.б. ха  c>0 >0 \ 0<|x-a|<  |f(x)|>c

б.б: ,

25)Сформулировать св-ва и следствие бесконечно малой, доказать любое из них

(1)Сумма 2 б.м. ф-ций является б.м.

(2)Произведение 2 б.м. ф-ций является б.м.

(3)Произведение б.м. на ограниченную ф-цию является б.м.

(4)Если f(x) и g(x) – б.м. (ха) f(x)  h(x)  g(x) в окрестности тч. x=a | 

 h(x)- б.м. при ха

Следствие (теорема о 2 милиционерах):

\ f(x)  h(x)  g(x) \ ха | 

(1)  f ₁(x)- б.м. ₁ : 0<|x-a|<₁  | f ₁(x)|<

(ха) E =min(₁;₂)   

f ₂(x)- б.м. ₂ : 0<|x-a|<₂  | f ₂(x)|<

 |f ₁(x)+f ₂(x)| = |f ₁(x)|+|f ₂(x)| = + = E 