7)Бином Ньютона. Число всех подмножеств n-элементного множества.

Теорема. Число всех подмножеств n-элементного множества равно 2ⁿ.

Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение ( a + b ) ⁿ  при положительном целом  n  в виде многочлена:

(a+b)ⁿ=aⁿ+ a^n-1b+ a^n-2b²+ a^n-3b³+…+ ab^n-1+bⁿ.

1)Мн-ва,опреции над ними.Круги Эйлера-Венна

Два способа задания множества: 1. Перечисление элементов множества 2. Задание с помощью характеристического свойства {xϵZ|x делится на 2} – четные числа {xϵZ|x≥0} – натуральные числа Пересечение множеств: A∩B={x|xϵA и xϵB} Объединение множеств: A B={x|xϵA или xϵB} Дополнение множеств: A S E=Ᾱ={xϵE|x A} Свойства множеств: 1. - закон двойного отрицания 2. - коммутативность 3. - коммутативность 4. - ассоциативность 5. - ассоциативность 6. - дистрибутивность 7. - дистрибутивность 8. - закон Моргана 9. - закон Моргана 10. A A 11. A∩ = n(A) – количество элементов множества n(A B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

2)Высказывания,операции.Равн-ые формулы. Осн. Равносильности

Истинно: И Ложно: Л Конъюнкция: Дизъюнкция: Импликация: Эквивалентность: Отрицание: a b a&b a b avb a b a=>b a b a<=>b a ā и и и и и и и и и и и и и л и л л и л и и л л и л л л и л и л л и и л и и л и л л л л л л л л л и л л и Множество высказываний a₁, a₂, … , a_n – простейшие. Соединяя простейшие высказывания, можно получить сложные, которые называются формулами логики высказываний. А(а₁, а₂, … , а_n) может быть задана с помощью таблицы в 2ⁿ строк. Две формулы называются равносильными, если они принимают одинаковые значения при любых простейших. Равносильные формулы: 1.a 2. a&b b&a 3. avb bva 4. a&(b&c) (a&b)&c 5. av(bvc) (avb)vc 6. a&(bvc) (a&b)v(a&c) 7. av(b&c) (avb)&(avc) 8. 9. 10. a&a a 11. ava a 12. a&и a 13. avл a 14. a<=>b (a=>b)&(b=>a) 15. a=>b - закон контрапозиции (правило перевертывания) 16. a=>b vb

3)Правила суммы и произведения в комбинаторике.

Правило суммы: Если для выбора объекта а имеется m возможностей, и при каждом таком выборе для выбора объекта b имеется n возможностей, то для выбора объекта а или b имеется m+n возможностей. n(A B)=n(A)+n(B) Правило произведения: Если для выбора объекта а имеется m возможностей и при каждом таком выборе для выбора объекта b имеется n возможностей, то для выбора пары (а, b) имеется mn возможностей. Пр. Из пункта А в пункт В можно добраться тремя способами, а из В в С – двумя. Сколькими способами можно добраться в С из А? n=3х2=6

4)Упорядоченные мн-ва. Перестановки из n-элементов, их число P_n.

Декартовым произведением множеств А и В называется совокупность всех упорядоченных пар {(a, b)|где аϵА и bϵB} Перестановкой из n элементов называется произвольное упорядоченное расположение этих элементов. Теорема 1. Число перестановок из n символов равно n! Пр. Сколькими способами можно расставить очередь из 5 человек? n=5!=120

5) Число Aⁿ_k упорядоченных k-элементных подмножеств n-элементного мно­жества (размещения из n элементов по k).

Теорема. Число упорядоченных к-элементных подмножеств множества из n элементов равно Пр. Сколькими способами группе из 20 человек можно избрать упорядоченное руководство из 3 человек?

6) Число С^k_nk-элементных подмножеств п-элементного множества (сочетания изп элементов по к). Простейшие свойства чисел С^k_n.

Теорема. Число к-элементных подмножеств из n элементов равно Пр. Сколькими способами группе из 20 человек можно избрать делегацию из трех человек? Свойства : 1. 2. 3. 4.

8) Формула включения и исключения в комбинаторике

Теорема. Число элементов в объединении множеств а₁, а₂, … , а_k равно (n(A₁)+n(A₂)+…+n(A_k))-(n(A₁∩A₂)+n(A₁∩A₃)+…+n(A_k-1∩A_k))+(…)-(…)+…-(…) – формула включений и исключений n(A B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) n(A B C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(A∩C)+n(A B C)

9) Размещения с повторениями изп элементов по к. Их число А^k_n.

Опр. Размещениями с повторением из n элементов по k называются векторы длины k, координаты которых принадлежат заданному n-элементному множеству. Пр. Сколько 5-значных номеров можно составить из всех цифр? n=9⁵=59049

10) Перестановки с повторениями изп элементов по к. Их число р_n^n1,n2…nn. По­линомиальная теорема.

Опр. Перестановкой с повторением состава n₁, n₂, … , n_k из букв a₁, a₂, … , a_k называется вектор длины n, в котором a₁ входит n₁ раз, a₂ – n₂ раз, … , a_n – n_k раз. Число таких перестановок равно Рассмотрим n-элементное множество, причем элементы этого множества разбиваются на k различных типов. Пусть n₁ – число элементов первого типа, n₂ – второго и т.д. n=n₁+n₂+…+n_k. Сколько существует перестановок длины n? Ответ: Пр. Сколько можно составить слов, переставляя буквы в слове ‘математика’? м а т е и к м а т а Ответ: =151200. Опр. Сочетание – повторение n элементов k раз Пр. Имеется A={a, b, c} n=3, k=2 aa, ab, ac, bb, bc, cc

Пусть   , тогда

– полиномиальный коэффициент.