20. Предикаты, кванторы. Формулы логики предикатов, операции над ними.
Опр.n-местным предикатом, определенным на мн-ве М называется n-местная функция, аргументы котор.принимают значения в М, а обл.значений есть мн-во {И;Л}:Mn→{И;Л} при n=1 унарный, n=2 бинарный, n=3 тернарный. P(x1,x2…,xn)
Опр. Пусть P(x1,x2…,xn) – n-мерный предикат, определенный на М. Мн-вом истинности этого предиката назыв.совокупность таких упорядоченных n-ых, для котор. P(x1,x2…,xn)=И
Опр. Два предиката P1(x1,x2…,xn ) и Q(x1,x2…,xn) определенные на одном и том же множ.М назыв.равносильными на М, если они принимают одинаков.знач. И или Л при любых x1,x2…,xn из М, др.словами, мн-во истинности P и Q совпадает.
Одноместн.
P=
Двуместн.
Р=
В математике предикат – функция.
Предикатные буквы, примененные к постоянным элементам будем называть элемент формы или атомы. Если предметной переменной придавать знач.из М, то элем.формулы будуь принимать знач.И или Л.
Пусть P(x) и Q(x) два одноместн.предик.на М, тогда P(x) & Q(x) – двухместный предикат на М.
Опр.
Пусть P(x)
– предикат, определенный на М, тогда
xP(x)=
x
- квантор общности (всеобщности)
- квантор существования
Опр.
Пусть P(x)
– предикат на М, то
Переменная х связанная в пред.определениях. Свободная – если вне множества.
Опр. Формулу без свободных переменных называют замкнутой формулой, или предложением. Выводимой ф-лой логики предикатов наз.ф-ла получения из аксиом, выводимая с пом.правил вывода.
21)Тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые логики предикатов. Исчисление предикатов (аксиомы, правила вывода). Теорема Гёделя о полноте.
Опр. Предикат P(x1,x2,…,xn) наз.тождественно истинным на М, если при подстановке вместо x1,x2,…,xn произвол.элементов из М, он принимает значение И. |x|≥0 R-выполнимый, |x|<0 R – невыполнимый, |x|>0 R – выполнимый, {0}-невыполнимый.
Аксиомы.
Пусть A,B,C
– ф-лы предикатов, тогда: 1) А=>(В=>A)=И,
2)(А=>(В=>С))=>((A=>B)=>(A=>C))=И,
3) (
=>
)=>(B=>A)=И,
4)
где t
– переменная свободная в ф-ле А=И, 5) (
,
если ф-ла А не сод.переменную х=И.
Правила
вывода. 1) Modus ponens(правило заключения):
если A и A→B — выводимые формулы, то B
также выводима, 2) Правило обобщения:
из А=>)
A
Т1. Любая выводимая ф-лы исчисления предикатов явл.тождественно истинной.
Т2.
(Геделя «О полноте исчисления предикатов»
1929) Всякая, любая тождественно истинная
ф-ла выводима в исчислении предикатов.
F:A->B
: 1) )
,
у=f(x),
х
А,
у
В;
2)y=f(x1)
&y=f(x2)
=>x1=x2,
3) )
(y=f(x))
Fиньект x1Ax2(x1 x2=>f(x1) f(x2)
Fсюрьект
y
B,
A(y=f(x))
22)Основные равносильности логики предикатов. Определение, примеры.
Опр. Два предиката P1(x1,x2,…,xn) и Q(x1,x2,…,xn) определенные на одном и том же множ.М назыв.равносильными на М, если они принимают одинаков.знач. И или Л при любых x1,x2,…,xn из М, др.словами, мн-во истинности P и Q совпадает.
Опр. Пусть Ф1 и Ф2 – формулы логики предикатов, назыв.равносильными на М, если они принимают одинак.значения (Л,И) для любых подстановок предикатов, определенных на М и при любых подстановках переменных из М. (Ф1~Ф2 – равносильность)
Опр. Формулы Ф1 и Ф2 равносильны, если они равносильны на любом множ.М. Если взять Ф1&Ф2 и Ф2&Ф1,то: (Ф1&Ф2)~(Ф2&Ф1)
Замеч. Все равносильности из логики высказ.переносятся и на ф-лы логики предикатов.
Равносильности,
связанные с кванторами!!!:
1)
x
P(x)~
P(x),
2)
P(x)~
x
P(x),
3)
x
y
P(x,y)~
y
x
p(x,y)~
y
x
xP(x,y),
4)
P(x,y)~
,
однако
x
P(x,y)
y
P(x,y),
5)
y
P(x,y)=>
y
P(x,y)
Опр. Приведенной формой для ф-лы логики предикатов равносильна ф-ле не содерж.отриц.над кванторами, т.е. отриц.может стоять только над предикатами.