13)Производящая ф-ия для числовой последовательности. Производящая послед-сть для числа сочетаний с0n,c1n,c2n,…Cnn. Производящая ф-ия для последовательности Фибоначчи.
Пусть
имеется некоторая числ. посл-сть:
a0,a1,a2,…,an,…(1)
Поставим
ей в соответствие
ф-ию:f(z)=a0+a1z+a2z2+…+anzn+…=
,которая
называется производящей
для последовательности (1).
Задача:постр.
производящ. ф-ю для посл.
С0n,C1n,C2n,…Cnn.
Для
решения поставленной задачи исп-ем
рекуретное соотнош-ие для числа
сочетаний:
=
+
.Отсюда,
используя изложенный выше приём,
получаем:
(2)
Так как из n-множества
нельзя составить r-сочетания
при r>n,
то
,
где
–искомая
производящая ф-ия. Для следующего члена
соотношения (2)
–также
производящая ф-ия для сочетаний из n-1
элеметного мн-ва. Находим далее:
.
Подставим плученные значения в
соотношение (2): fn(z)=fn-1(z)+zfn-1(z).
Таким образом, fn(z)=(1+z)fn-1(z).
Подставляя вместо производящей ф-ии
из (n-1)-множества
аналогичное соотношение, получим
fn(z)=(1+z)nf0(z).
Так как f0(z)=
,
то получим окончательно fn(z)=(1+z)n
–производящая ф-ия числа сочетаний.
Таким образом, получено соотношении,
называемое биномом Ньютона:
.
Числа
называют также биноминальными
коэффициентами.
14. Бинарные отношения, область определения и область значений. Определение, примеры. Теоретико-множественные операции над ними.
Опр. Бинарным отнош., определенным на паре мн-в А и В назыв.подмножество их декартового произведения АхВ. Если А=В, то R – бинарное отнош., определен.на А.
Опр. Пусть R – бинарное отнош., определен.на пару мн-в А и В, а обл.опред.отнош.R назыв.совокупность a A, что (a,b) R для некотор.эл-тов b B.
Опр. Обл.знач.назыв.мн-во знач. b B, что (a,b) R, для одного a A.
Рассм.операции
над подмнож. Пусть R,S
опред.на паре А,В как бинарные отнош.
1)a(R
S)b<=>aRb
или
aSb, 2)a(R∩S)b<=>aRb и
aSb, 3)a
bне
aRb
12. Рекуррентные соотношения (для членов числовой последовательности). Рекуррентные соотношения для чисел Сnk .
Опр.
Рекуррентное
соотнош. – это такое соотнош., при
котор.член некотор.мн-ва находится с
помощью предыдущих.
27)Алгоритмы, интуитивное понятие. Рекурсивыне функции. Тезис Чёрча.
1)Алгоритм служит для решения многих задач (массовость)
2)Дискретность: Алгоритм описывает процесс построения велечины, идущей в дискретное время.
3)Детерминированность. Требуется, чтобы метод выполнения был настолько точен, чтобы не было произвола.
4)Результативность. Алгоритм должен приводить к решению задачи за конечное число шагов.
Алгоритм–точное предписание о выполнении в некотором порядке системы операций для решения всех задач данного типа.Понятие алгоритма часто интерпретируют как точное предписание, определяющее вычислительный процесс, начинающийся с произвольного исходного данного и направленный на получение результата, полностью соответствующего этому исходному данному. Это определение алгоритма называют интуитивным. Под рекурсией понимается метод определения функции через её предыдущие и ранее определенные значения, а так же способ организации вычислений, при котором функция вызывает сама себя с другим аргументом.
Рекурсивыные функции– это функции, определённые некоторым специальным образом. Из названия следует, что их вычисление содержит обращение к самим себе. Прежде всего определяют элементарные рекурсивыне функции:1)Функцию следования s’(x)=x+1; 2)Функцию константы (чаще всего это нуль) On(x1,…,xn)=0; 3)Тождественную функцию Inm(x1,…,xn)=xm.
Ф-ия назыв-я примитивно-рекурсивной функцией, если она мб. получена из простейшей функции с помощью операции примитивной рекурсии. Эта операция строит функцию от n+1 аргументов, если имеется две функции: ф-ия g(x1,…,xn) и ф-ия h(x1,…,xn+1,xn+2) (ф-ия от n+2 аргументов).
Тезис Чёрча. Класс вычислимых функций совпадает с классом частично рекурсивных функций. Класс ф-ий логики предикатов не имеет алгоритма для выполнения, является ли ф-ла предиката тождественной или нет.