15) Обращение и умножение бинарных отношений, их свойства. Определение, примеры

Определение 1. Бинарным отношением между множествами А и В  называется любое подмножество ρ  прямого произведения АхВ. Часто чтобы обозначить принадлежность упорядоченной пары (x,y) к бинарному отношению ρ  вместо записи (x,y) ρ используют обозначения ρ(x,y)  или xρy. При этом говорят, что x  находится в отношении ρ  к y .

Если A=B, то говорят, что ρ  задано на множестве A.

Пример 1. Пусть A=   и B={1,2,3,4,5,6,7,8}  . Тогда подмножество {(a,2),(c,3),(d,5)}  в AxB  является бинарным отношением между множествами A и B.

Пример 2. На множестве целых чисел Z отношение делимости, состоящее из упорядоченных пар (m,n), в которых m делится на , является бинарным отношением. В этом случае обозначение mρn  заменяется на m n.

Пример 3. На множестве действительных чисел  R  упорядочение ≤ является бинарным отношением на R, состоящим из всех точек плоскости R­², лежащих не ниже прямой x-y=0 .

Свойства бинарного отношения на множестве

Определение 2. Говорят, что бинарное отношение ρ  на множестве A обладает свойством рефлексивности, если (x,x) ρ  для всех x A.

Определение 3. Говорят, что бинарное отношение ρ на множестве A обладает свойством антирефлексивности, если (x,x) ρ  для всех x A.

Определение 4. Говорят, что бинарное отношение ρ  на множестве A обладает свойством симметричности, если (x,y) ρ  влечет за собой (y,x) ρ  для всех x,y A.

Определение 5. Говорят, что бинарное отношение ρ на множестве A обладает свойством антисимметричности, если (x,y) ρ x y, влечет за собой (y,x) ρ  для всех x,y A.

Определение 6. Говорят, что бинарное отношение ρ  на множестве A  обладает свойством транзитивности, если (x,y) ρ  и (y,z) ρ  влечет за собой (x,z) ρ  для всех x,y,z A.

Определение 7. Говорят, что бинарное отношение ρ на множестве A обладает свойством связанности, если (x,y) ρ  или (y,x) ρ  для всех x,y A.

Пример 5. Отношение делимости целых чисел из примера 2 является

• рефлексивным: любое целое число m делится на себя, то есть m m ;

• транзитивным: если m делится на n, а n делится на k, то m делится на k.

Пример 6. Отношение порядка ≤ из примера 3 обладает свойствами

• рефлексивности;

• транзитивности;

• антисимметричности;

• связанности.

Опр.1.Пусть R – бинарное отношение R AxB,отношением обратным к бинарн. отношению R наз-ся отношение, определённое на паре BxA и состоящее из всех таких пар (b,a), для которых (a,b) R, R^-1 BxA.

Пр.Пусть R–англо-русский словарь. А–англ.слова, В–мно-во русских слов. Тогда R^-1–русско-английский словарь.

Опр2.Пусть R и S–бинарн. отношения R⊆AxB, S⊆BxC, тогда произведение отношений R и S называется отношение, определённое на паре мн-в A и C, сост-ая из тех пар (a,c), для которых сущ-ет такой эл-нт x из мн-ва B (x B), что выполняется aRx и xSc.

23)Граф, ориентированные и неориентированные графы. Определение, примеры.

Графом называют двойку G=(V,E), где V={v₁,v₂,…,v_n}–множество элементов, называемых вершинами, а E={e₁,e₂,…,e_n}–множество ребёр (дуг) графа. Каждое ребро (дуга) из E определяется парой вершин v_i и v_j, которые оно соединяет. Такие вершины называют концевыми для ребра (дуги). Ребро графа G задаётся неупорядоченной парой вершин {v_i ,v_j}, а дуга –упорядоченной парой вершин {v_i ,v_j}. Дугу графа G называют также ориентированным ребром.

Граф называют неориентированным (неографом), если он не имеет ориентированных рёбер (см. а)).

v₂ e₄ v₁ e₁ v₂

e₂ e₃ v₃

v₁ e₂

а) e₁ e₆ б) e₃

e₅

v₅ e₇ v₄ v₄ e₄ v₃

Граф называют ориентированным (орграфом), если он состоит только из ориентированных ребёр (см. б)).

Если граф имеет как ориентированные, так и неориентированные ребра, то такой граф называют смешанным.

Ребро называют петлёй, если оно начинается и заканчивается в одной и той же вершине.

Между вершинами графа G и его ребрами имеет место отношение инцидентности. Говорят, что вершина v_i инцидентна ребру e_k,если v_i–одна из концевых вершин этого ребра. Обратно, всякое ребро инцидентно своим концевым вершинам.

Вершины v_i,v_j V графа G называются смежными или соседними, если они инцидентны одному и тому же ребру (т.е. соединены хотя бы одним ребром или дугой).

Маршрутом в графе называется чередующаяся посл-сть верин и рёбер, кот-ые инцидентны.