Тема 9. Определенный интеграл.

[1] c. 296 пример 11.2 (а, б), с. 299 пример 11.4, с. 300 пример 11.5,

с. 301 – 302 пример 11.6, с. 304 пример 11.7, с. 305 – 307 примеры 11.8,

11.9, с. 308 пример 11.10, с. 311 пример 11.12, с. 315 – 318

примеры 11.14 – 11.17.

[5] c. 252 – 253 № 1592 – 1595, с. 254 – 255 № 1610 – 1612.

[11], с. 374 примеры 1 – 6, с. 375 пример 1, с. 379 – 380 примеры 1 – 3,

с. 401 – 402 примеры 1, 2, с. 403 примеры 3, 4, с. 407 пример 2.

При вычислении определенных интегралов применяют формулу Ньютона-Лейбница:

Покажем работу данной формулы на конкретных примерах.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 16. Вычислить интегралы:

Решение.

Задача 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Площадь фигуры, ограниченная непрерывными линиями

, , при условии , определяется по формуле:

Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему уравнений

Итак, получили точки пересечения прямой и параболы: ( ;0) и (1; 5).

Построим фигуру, ограниченную указанными линиями.

Тогда

Рис. 6.

Вопросы для самопроверки

1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Напишите интегральную сумму для функции на отрезке

3. Что называется определенным интегралом от функции на отрезке

4. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?

7. Напишите формулу Ньютона –Лейбница.

8. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

9. Как вычистить объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси

10. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования.

11. Сформулируйте понятие несобственного интеграла от разрывной функции.

Тема 10. Дифференциальные уравнения.

[1] с. 335 – 336 примеры 12.9 – 12.10, с. 338 пример 12.12,

с. 339 пример 12.13, с. 340 – 341 примеры 12.14 – 12.15, с. 344

пример 12.17 (а – в), с. 347 – 349 примеры 12.19 – 12.21, с. 350 – 354

примеры 12.23 – 12.24, задачи 1,2.

[6] c. 118 – 119 №507 – 510, с. 123 – 124 №545 – 547, с. 132 – 135

№596 – 602, с. 141 №649, с. 142 – 143 №656, с. 144 – 145 №666 – 667.

[12], с. 22 – 23, примеры 2 – 4, с. 25 пример 4, с. 30 – 31, пример 1,

с. 55 – 61 примеры 1 – 4, с. 70 § 21, с. 71 – 74 примеры 1 – 4.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 18. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли, вид которого Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию представляем в виде произведения двух других функций: то есть введем подстановку: . Подставим данную замену в исходное дифференциальное уравнение, получим:

Сгруппируем второе и третье слагаемые:

Выберем функцию так, чтобы . При подобном выборе функции уравнение (1) сведется к решению системы:

Последовательно решаем уравнения (2) затем (3).

Решим уравнение (2): данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными.

Подставляя найденную функцию в уравнение (3), получаем:

Тогда

Итак,

Задача 19. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Общее решение данного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть

Для нахождения запишем однородное дифференциальное уравнение: после этого составим соответствующее характеристическое уравнение: Данное уравнение имеет комплексные корни: и т.е. В этом случае общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

где комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) получаем:

Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа не являются корнями характеристического уравнения , то существует частное решение Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение

Применяя эту теорему при имеем:

Для нахождения коэффициентов и , дважды продифференцируем последнее равенство, получим:

Подставим и в исходное уравнение:

или

откуда получаем Следовательно,

или Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения примет вид:

Для того чтобы записать частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, необходимо найти и . Предварительно вычислим

Используя начальные условия, получим систему:

Следовательно, есть искомое частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения? Что называется частным решением?

3. Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка?

4. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? Уравнением Бернулли? Укажите способ их решения.

6. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

7. Какое уравнение называется характеристическим для однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

8. Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

9. Как найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? Какой вид имеет частное решение неоднородного дифференциального уравнения есть второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть многочлен? Показательная функция? Тригонометрическая функция?