4. Классическая схема. Вычисление вероятностей исходов в трех комбинаторных моделях.

Если множество исходов некоторого опыта конечно и состоит из n равновозможных попарно несовместных событий, составляющих полную группу, то вероятность события Р(А) = m(A)/n, где m(A) – число благоприятных для этого события исходов. В геометрической интерпретации вероятность попадания в область А, включенную в В можно вычислить как отношение меры области А к мере области В. Для решения некоторых задач удобно пользоваться комбинаторными моделями. Формула перестановки имеет смысл числа вариантов, с помощью которых можно расположить k элементов. N = k!

Формула сочетаний имеет смысл числа способов выбрать r элементов из k без учета порядка.

Формула размещений имеет смысл числа способов выбрать r элементов из k с учетом порядка, последовательности, иерархии.

5. Классическая схема. Примеры решения задачи о совпадениях, расчета вероятности выигрыша в лотерее.

Если множество исходов некоторого опыта конечно и состоит из n равновозможных попарно несовместных событий, составляющих полную группу, то вероятность события Р(А) = m(A)/n, где m(A) – число благоприятных для этого события исходов.

- Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что цифры различны, набрал их на удачу. Какова вероятность того, что набран нужный номер? Решение: Общее число исходов

Благоприятный исход один – необходимые цифры набраны в необходимом порядке. Вероятность того, что набран нужный номер, легко рассчитать по классической формуле

.

- В розыгрыше лотереи участвуют 100 билетов, среди которых 25 выигрышных. Студент МАИ приобрел три билета. Какова вероятность его выигрыша? Решение: студент МАИ выиграет в случае, если хотя бы один из билетов окажется выигрышным. Проще рассмотреть противоположное событие (студент проиграет). Для нового события благоприятными являются

исходов.

Общее число исходов тоже вычисляется по формуле сочетаний:

Вероятность выигрыша студента МАИ:

6. Независимые события. Свойства независимых событий. Примеры: расчет надежности.

События А и В являются называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А)Р(В). В противном случае события называются зависимыми. Если любые два события из А₁, …, А_n независимы, то события А₁, …, А_n называются независимыми в совокупности, или просто независимыми, если для любых k=2,n и 1 £ i₁ < … < i_k £ n верно равенство Р(А_i1×…×A_ik)=P(А_i1) ×…×P(A_ik). Независимость событий не следует из их попарной независимости, но обратное утверждение верно.

Свойства:

- Если события А и В независимы, то независимы также события А и ØВ, ØА и ØВ, ØА и В. Для событий А и ØВ имеем

Поэтому

- Если несовместные события А и В имеют ненулевые вероятности, то они зависимы. Действительно, по условию АВ = Æ. Если бы А и В были независимыми, тогда было бы верно Р(А)Р(В) = Р(АВ) = Р(Æ) = 0, но левая часть равенства по условию нулю не равна. Следовательно, А и В зависимы.

Расчет надежности. Задача^*: Система состоит из четырех элементов, надежности которых равны p₁=0,8; p₂=0,7; p₃=0,6; p₄=0,5. Элементы отказывают независимо друг от друга. Найти надежность схемы, приведенной на рисунке.

Решение: Перейдем к противоположному событию. Система откажет в случае, если откажут одновременно 3ий и 4ый элементы или 4ый, 1ый и 2ой элементы. Необходимо также учесть, что если отказали 3ий и 4ый элементы, то состояние 1ого и 2ого может быть любым. Поэтому вероятность отказа можно вычислить следующим образом:

^*Задача 43а на странице 46 учебника Кибзуна.

7. Схема и формула Бернулли. Свойства биномиальных коэффициентов.

Рассмотрим последовательность из n независимых испытаний (опытов) с двумя исходами (событиями) А и ØА, которые называются соответственно «успехом» и «неуспехом», причем Р(А) = p Î (0,1), Р(ØА) = q = (по определению) 1 – p. Построенная схема испытаний называется схемой Бернулли, а сам опыт – опытом Бернулли. Пусть опыт G производится по схеме Бернулли. Тогда вероятность P_n(k) события A_n(k), состоящего в том, что при n повторениях опыта G событие А произойдет ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

Докажем справедливость данной формулы. Пусть опыт G был проведен три раза и необходимо найти вероятность того, что успешный результат будет получен один раз. В таком случае по формуле Бернулли получаем, что вероятность этого события равна 3pq². Теперь представим это событие в виде суммы несовместных событий A=ØA_1×ØA_2×A₃+ØA_1×A_2×ØA₃+A_1×ØA_2×ØA₃. Поскольку события несовместны, P(A) = P(ØA_1×ØA_2×A₃) + P(ØA_1×A_2×ØA₃) + P(A_1×ØA_2×ØA₃).

Так как события независимы, вероятность их произведения равна произведению вероятностей. Р(А)=p, P(ØA)=q. Тогда Р(А) = qqp + qpq + pqq = 3(pqq)=3pq². Результаты совпадают.