1. Двумерная линейная регрессионная модель и её особенности.

;

где Y– зависимая переменная;

X – объясняющая переменная;

ε_i –случайная переменная, характеризующая отклонение от функции регрессии;

β_j - генеральные коэффициенты регрессии

Предпосылки регрессионного анализа:

1. Зависимая переменная y_i (возмущение ε_i) – случайная величина, а объясняющая переменная x_i – неслучайная величина

2. М(ε_i)=0;

3. Дисперсия случайных остатков постоянна для любого i: D(ε_i)=σ²

4. Переменные ε_i и ε_j не коррелированы: M(ε_i ε_j)=0

5. Зависимая переменная y_i (возмущение ε_i) имеет нормальный закон распределения N(μ, σ)

В модели определению подлежат параметры уравнения регрессии β₀ и β₁, называемые коэффициентами регрессии, а также - остаточная дисперсия. σ²_ост.

2. Этапы построения регрессионной модели, предпосылки регрессионного анализа.

1. Формулировка цели исследования, которая включает в себя отбор результативного показателя y и постановку задачи;

2. Отбор на содержательном уровне объясняющих переменных, оказывающих наибольшее влияние на результативный показатель y;

3. Сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация для каждого наблюдения значений результативного и объясняющих переменных, входящих в модель

4. Выбор вида функции регрессии f(X).

5. Идентификация модели. Оценивание неизвестных параметров регрессионной модели по исходным статистическим данным.

6. Верификация модели. Анализ адекватности модели, уровня согласованности исходных и модельных значений результативного показателя.

Предпосылки регрессионного анализа:

1. Зависимая переменная yi (возмущение εi) – случайная величина, а объясняющая переменная XI – неслучайная величина

2. М(ε_i)=0;

3. Дисперсия случайных остатков постоянна для любого i: D(ε_i)=σ²

4. Переменные ε_i и ε_j не коррелированы: M(ε_i ε_j)=0

5. Зависимая переменная yi (возмущение εi) имеет нормальный закон распределения n(μ, σ)

3. Проверка значимости коэффициентов регрессии и всего уравнения в целом.

Проверка значимости уравнения регрессии т.е. гипотезы H₀: β₁=0

Используется F-критерий, основанный на статистике:

По таб.4 F-распределения Фишера-Снедекора находится F_кр (α; ν₁=1; ν₂=n-2).

Если F_н > F_кр, то гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки и уравнение регрессии считается значимым.

Проверка значимости коэффициентов регрессии проводится по t-критерию. Нулевая гипотеза β_i=0

Рассчитывается статистика

t_кр = t (α;n-2).

Если наблюдаемое больше критического, то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент значим.

Если меньше – не отвергается, коэффициент не значим.

4. Методы, используемые для оценки неизвестных параметров уравнения регрессии

Для нахождения оценок параметров уравнения регрессии чаще всего используется метод наименьших квадратов (МНК).

Обозначим оценки параметров уравнения регрессии β₀ и β₁ как b₀ и b₁.

В соответствии с методом наименьших квадратов (МНК) оценки b₀ и b₁ можно получить из условия минимизации суммы квадратов ошибок оценивания, т.е. минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от расчетных ее значений, полученных на основе уравнения регрессии.

МНК:

y_i – фактические значения зависимой переменной,

ŷ_i - расчётные значения, полученные на основе уравнения регрессии.

Разность называется остатком и дает количественную оценку значения ошибки, т.е. показывает воздействие возмущающей переменной.

МНК позволяет получить несмещённые оценки, а в случае линейной модели – оценки с минимальной дисперсией, дающие хорошее приближение оценок b_j к истинным значениям коэффициентов регрессии β_j.

Для оценки неизвестных параметров уравнения помимо МНК используют следующие критерии адекватности (функции потерь):

• Метод наименьших модулей;

• Метод минимакса.

Согласно МНМ минимизируется сумма абсолютных отклонений наблюдаемых значений результативного показателя от модельных значений

Получаемая регрессия называется среднеабсолютной (медианной).

Метод минимакса сводится к минимизации максимума модуля отклонения наблюдаемого значения результативного показателя от модельных значений

Получаемая регрессия называется минимаксной.