4.3.3. Форма представления результатов косвенных измерений

Погрешности косвенных измерений (иначе, погрешности расчетных величин) вычисляются с учетом того, что числовые значения расчетных величин являются функциями одного или нескольких измеряемых величин, т. е.

y = f(x₁, x₂,…,x_n). (32)

Если абсолютные погрешности величин х₁, x₂,…,x_n, полученные путем прямых измерений, равны x₁,x₂,…,x_n, то погрешность функции у может быть определена путем дифференцирования уравнения (32) и замены дифференциальной функции (в предположении, что величины х малы) и переменных конечными разностями:

y = f x₁/ x₁ + f x₂/ x₂ + … + f x_n/ x_n (33)

или в общем случае

y = (∑( fΔ x_i/ x_i)²)^1/2. (34)

Таким образом, абсолютная систематическая погрешность функции у равна сумме частных производных величин прямых измерений, входящих в искомую функцию, умноженных на абсолютные погрешности каждого из них.

Относительная систематическая погрешность данной функции будет равна

y =  y/y = d[ln f(x₁, x₂,…,x_n)] (35)

или

y=y/y= . (36)

Чтобы найти относительную погрешность косвенных измерений, необходимо взять натуральный логарифм функции (32) и дифференцировать его по непосредственно измеренным величинам, выступающим как независимые переменные.

Все представленные зависимости для определения погрешностей косвенных измерений распространяются как на систематические, так и на случайные погрешности. Однако необходимо иметь в виду, что при получении результирующей случайной погрешности складываются не с.к.о. (стандарты), а дисперсии.

Абсолютные и относительные погрешности для ряда функций, наиболее часто используемых при обработке экспериментальных данных, приведены ниже.

При вычислении с.к.о. и погрешности результата в случае косвенных измерений, как правило, поступают следующим образом:

находят значение

= x_i/n;

подставляют это значение в уравнение y = f(x) и получают значение

= f( );

определяют значение погрешности y как произведение

y = f( )x. (37)

Полученные при прямых измерениях величины, используемые для вычисления результатов косвенных измерений, могут быть отягощены как систематическими, так и случайными погрешностями. При определении расчетного параметра желательно, чтобы результаты прямых измерений были отягощены либо систематическими (что наиболее удобно для записи результирующей погрешности), либо случайными погрешностями (наиболее удобно, когда они принадлежат одному закону распределения). Однако на практике чаще всего встречаются как систематические, так и случайные погрешности.

С учетом отмеченного рассмотрим различные варианты определения и формы записи погрешностей косвенных измерений. Предварительно отметим, что во всех вариантах могут быть случаи, когда одна из погрешностей в несколько раз больше другой. В этом случае малыми погрешностями пренебрегают. Считается, что малой называется погрешность, которая в 10 раз больше и меньше, чем наибольшая из погрешностей. На практике, особенно в малочленных зависимостях, условие малой погрешности принимается, когда она в 3 раза и более меньше, чем наибольшая из погрешностей. Поскольку расчетные зависимости, используемые для обработки результатов испытаний двигателей, малочленные (число переменных в большинстве случаев составляет 2), то можно использовать при оформлении результатов лабораторных работ последнее условие малых погрешностей. Второе существенное замечание заключается в том, что для всех измеряемых величин задается одно и то же значение надежности Р.

Первый вариант. Погрешности носят систематический характер и не намного отличаются друг от друга. Результирующая абсолютная погрешность подсчитывается в соответствии с зависимостями, приведенными в табл. 1. Форма записи результатов по ГОСТ 8.011 – 72 первая.

Второй вариант. Если погрешности носят случайный характер, то принимается, что доверительная вероятность равна 0,9, и тогда используются зависимости для абсолютной или относительной погрешностей. Форма записи результата вторая или третья, но без систематической составляющей.

Третий вариант. Погрешности носят как систематический, так и случайный характер. В этом случае можно рассматривать две модели представления результатов. Первая модель предполагает отдельное суммирование систематических и случайных погрешностей и запись результата по третей форме. Вторая модель предполагает рандомизацию систематической погрешности и запись результата в этом случае осуществляется по третей форме ГОСТ 8.011 – 72.