4.3. Погрешности экспериментальных и расчетных данных

При проведении испытаний двигателей определяется не только сама измеряемая величина, но и дается оценка допущенной при измерении погрешности. Любое измерение сопровождается погрешностью, поскольку результат измерений получен с помощью средств измерений (СИ), каждое из которых обладает вполне определенной ограниченной точностью, и, кроме того, результат измерений часто отягощен случайными погрешностями.

Необходимую точность данных, получаемых при снятии рассматриваемых характеристик в стендовых условиях для автомобильных двигателей регламентирует ГОСТ 14846 – 87 “Двигатели автомобильные. Методы стендовых испытаний”. В соответствии с этим ГОСТ используемые СИ должны обеспечить по основным параметрам следующие погрешности измерений:

1) крутящий момент  ±0,5%,

2) частота вращения ±0,5%,

3) часовой расход топлива ±1,0%,

4) температура всасываемого воздуха ±1,0%,

5) температура охлаждающей жидкости, масла и топлива ±2C,

6) температура отработавших газов ±20C,

7) барометрическое давление ±0,2кПа,

8) разряжение во впускном трубопроводе ±1,0%,

9) относительная влажность окружающего воздуха ± 2%,

10) угол опережения зажигания (подачи топлива) ±1 у.п.к.в.

Поскольку погрешность прямого однократного измерения полностью определяется погрешностью СИ, то согласно указанному ГОСТ все измерения должны выполняться предварительно проверенными, проградуированными или протарированными измерительными средствами в соответствии с действующими положениями об их контроле.

4.3.1. Разновидности погрешности измерений

При испытаниях двигателей не все измеряемые величины получают непосредственными измерениями. Различают прямые и косвенные измерения. При прямых измерениях непосредственно сравнивается измеряемая величина с образцовой или искомая величина отсчитывается по шкале прибора. Часть показателей определяется с помощью косвенных измерений, в которых искомая величина, например мощность и удельный расход топлива двигателя, получается с помощью расчетных соотношений.

В зависимости от скорости изменения измеряемой величины во времени различают статистические и динамические величины и соответствующие им погрешности. Величины, не зависящие от скорости изменения во времени, называются статистическими. В случае, если эта скорость не равна нулю, измеряемые величины называются динамическими (быстроменяющимися).

Перечисленные параметры с погрешностями, не превышающими указанных величин, относятся к ряду статических погрешностей.

Измеряемые в цилиндре двигателя или перед форсункой (дизели) давления в функции времени или угла поворота относятся к динамическим, или быстроменяющимся, величинам с соответствующими динамическими и статистическими погрешностями.

Качество результатов измерений характеризуется абсолютной, относительной и приведенной погрешностями, которые отражают форму их числового выражения.

Абсолютной погрешностью измерения x называется разность между полученным результатом измерения и его действительным значением:

x = x – а, (21)

где х – полученная в результате измерения величина;

а  действительное значение величины.

Поскольку действительное значение измеряемой величины неизвестно, то на практике в качестве его принимают наиболее вероятное значение измеряемой величины  среднее арифметическое значение , определяемое, как показано далее. Погрешности х могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. В общем случае они могут быть разными по абсолютной величине, однако чаще всего значения бывают положительными, отрицательными и равными по абсолютной величине.

Относительной погрешностью  называют погрешность, %, приходящуюся на единицу измеряемой величины:

 = х100 / х,

где х  текущее значение измеряемой величины.

Приведенной относительной погрешностью или просто приведенной называется погрешность, %, выраженная отношением абсолютной погрешности к максимальному значению измеряемой величины или максимальному значению шкалы прибора х_max:

_пр = х100 / х_max.

По характеру и причинам появления погрешности делят на систематические, случайные и грубые (промахи). В реальной действительности эти составляющие погрешности чаще всего проявляются совместно.

Систематическими называют погрешности, остающиеся постоянными или изменяющимися по определенному закону при повторных измерениях одной и той же величины. Они могут быть изучены и предсказаны, что дает возможность во многих случаях исключить их влияние на суммарную погрешность.

Случайными называют погрешности, изменяющиеся по случайному закону при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности не могут быть исключены из результатов измерений, однако при проведении повторных измерений теория вероятностей и математическая статистика позволяют получать более точные результаты с увеличением числа измерений.

При определении случайных погрешностей прямых или косвенных измерений, необходимо знание закона распределения погрешностей. На практике большинство погрешностей измерений подчиняются симметричным одномодальным законам распределений: при прямых измерениях – нормальному (закону Гаусса) и равномерному, при косвенных измерениях  треугольному (закону Симпсона), трапецеидальному, являющимся композициями равномерного и нормального законам распределения.

Экспериментальные исследования показывают, что при измерениях на двигателях разброс измеряемых величин в большинстве случаев подчиняется нормальному закону распределения. Распределение погрешностей для нормального закона описывается следующей функцией (плотностью распределения):

f(x) = e ^{–(x) /(2 )}/( ) , (22)

где ²  дисперсия измерений;

х  погрешность измерений;

е  основание натуральных логарифмов.

Для нормального (распределения Гаусса) и ряда симметричных законов распределения за наиболее вероятное значение измеряемой величины принимают математическое ожидание М (при n  ∞) или среднее арифметическое значение Х_ср (при конечном n).

В случае нормального закона распределения они определяются следующим образом:

среднее арифметическое значение

= 1/nx = x₁ + x₂ + … + x_n/n , (23)

где x₁,x₂,…,x_n  результаты отдельных измерений;

Если n  , то мерой наиболее вероятного значения будет математическое ожидание

M = lim _{n  } .

Мерой случайной погрешности является среднее квадратическое отклонение (с.к.о.)  (при n  ), или стандарт S (при конечном n)

, (24)

причем, если число измерений велико, то  = lim_{n  } S_ср.

Для определения величины случайной составляющей общей погрешности измерений необходимо знать закон распределения погрешности, величину самой погрешности x (иначе, доверительного интервала) и величину доверительной вероятности P (иначе, коэффициента надежности), выражаемой в  или долях единицы. Если истинное значение измеряемой величины X (за него принимается математическое ожидание M при n   или среднее арифметическое значение X_ср при конечном n), а погрешность измерения x, то доверительная вероятность P, или вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую чем х, будет иметь вид

P( – x  X  +x) = P. (25)

Выражение (25) означает, что с вероятностью Р результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от Х_ср – х до Х_ср + х, т. е. 2х. Причем, чем большая надежность Р требуется, тем большим получается соответствующий доверительный интервал х и, наоборот, чем больший доверительный интервал задается, тем вероятнее, что результаты измерений выйдут за его пределы.

Принято доверительный интервал (абсолютную погрешность) выражать в долях . Тогда, чтобы обеспечить нужную степень надежности, например 0,68, 0,95 или 0,997, необходимо выбирать в долях с.к.о. соответственно следующие доверительные интервалы: , 2 или 3. Представление погрешности (доверительного интервала) в виде  = х/ упрощает задачу определения доверительной вероятности, поскольку зависимость в функции от Р можно табулировать. В приложении (табл. 2) приведены эти зависимости.

Из изложенного следует вывод, что для получения одной и той же величины погрешности х, но с разной надежностью Р необходимо производить измерения с большой точностью или изменять величину . А это можно осуществить (в случае превалирования случайных погрешностей над систематическими) путем многократного повторения измерений, поскольку с.к.о. усредненного результата убывает по сравнению со с.к.о. отдельного измерения в раз, т. е.

_n = / или S_n = S/ . (26)

При обычных измерениях в технике, в том числе в автомобиле – и двигателестроении, наиболее предпочтительны доверительные вероятности Р = 0,9; 0,95 и реже 0,8 (данную вероятность чаще всего используют при проведении лабораторных работ в учебном процессе). Причем при Р = 0,9 погрешность обладает тем уникальным свойством, что для широкого класса наиболее часто используемых законов распределения вероятностей, она имеет однозначное соотношение х = 1,6 вне зависимости от вида закона распределения. Поэтому ГОСТ при отсутствии данных о виде закона распределения предписывает использовать Р = 0,9.

Указанные соотношения используются в случае нормального закона распределения результатов измерений и их случайных погрешностей при объемах выборок n  30.

Выборки объемом выше 30 в соответствии с отмеченным используются при измерении быстроменяющихся величин, в основном, характеризующих рабочий процесс двигателя, таких, как давление и температура газов в цилиндре, давление топлива после насоса высокого давления (дизели), давление и температура газов во впускном и выпускном коллекторах и т. д.

Как правило, объем выборок на установившихся режимах (установившийся режим двигателя чаще всего используется для снятия его характеристик) значительно меньше 30. При таких объемах выборок при нахождении границ доверительного интервала х необходимо пользоваться распределением Стьюдента, поскольку использование нормального закона в этом случае дает неверные (завышенные) значения надежности. В связи с этим при определении х в случае малой выборки вместо коэффициента  вводится коэффициент Стьюдента t_np. Зависящий от объема выборки n и величины надежности Р (его значения в функции от Р и n приведены в табл. 3 приложения):

t_np= x/S_n = x /S , (27)

где S_n определяется соотношением (26), а S – соотношением (24). Причем при n   коэффициент t (т. е. практически при n  30) трансформируется в величину .

Как было отмечено, величина погрешности при получении средних арифметических значений зависит от объема выборки, поэтому очень важно при проведении экспериментов на двигателях с целью ограничения большого объема получаемых данных правильно выбирать минимально необходимый объем информации. В соответствии с математической статистикой при оценке х для нормального нормированного закона распределения объем выборки для требуемой погрешности определяется следующим образом:

n = ²z_p²/² (28)

или

n = z_p²/_,

где  – коэффициент вариации;  = /a;

 – максимальная относительная погрешность при определении х_ср, равная х/X_ср;

z_р – квантиль уровня Р нормированной случайной величины

Z = (x – a)/ = x/;

значения z_p приведены в табл. 3 приложения;

Р – доверительная вероятность непревышения доверительного интервала при оценке х;

_ – максимальная относительная в долях  ошибка при оценке Х_ср.

Поскольку коэффициент вариации , как правило, неизвестен, то на практике при определении объема выборки его заменяют выборочным коэффициентом v, получаемым на основании априорной информации по аналогичным параметрам двигателей, или задаются значением v и уточняют его в процессе эксперимента. В этом случае объем выборки определяют по формуле

n = v²t_np² /² . (29)

Пример. Определить необходимый объем испытаний при определении среднего значения максимального давления сгорания Р_z, если с доверительной вероятностью Р = 0,9 относительная погрешность  измерения не должна превышать 2 .

Из табл. 4 приложения для Р = 0,9 находим z_p = 1,282. Задаемся значением коэффициента вариации , руководствуясь следующими соображениями: нестабильность, или, иначе, разброс значений Р_z, характеризуемый коэффициентом вариации, зависит от типа двигателя, режима его работы и степени его изношенности. По данным ряда исследований, величина Р_z от цикла к циклу может изменяться в пределах 1–15 . Возьмем значение  = 5, тогда, подставив выбранное значение в формулу (27), получим n = 11.

После измерения 11 значений Р_z получили выборочный коэффициент вариации 5,6. Преобразуем формулу (29) в следующий вид:

 = vt_np / . (30)

Так как выборочный коэффициент вариации оказался больше выбранного, то из полученной зависимости видно, что значение  будет больше 2 . Зададимся n = 20, выберем из таблицы значение t_np и получим из формулы (30) ожидаемую относительную ошибку при определении среднего значения P_z

 = 0,0561,73/4,472 = 0,022.

Определенное нами значение  больше заданного, равного 2 . Берем значение n = 25 и по таблице находим t = 1,71. Подставив выбранные значения в (30), получаем

 = 0,0561,715 = 0,019.

Поскольку полученное значение меньше заданного, принимаем n = 25 и измеряем P_z еще 25 – 11 = 14 раз. После дополнительных 14 измерений P_z определяем v по суммарному объему выборки n = 25. Если выборочный коэффициент вариации отличается от предыдущего и это приведет к неприемлемо высокому значению , то следует вновь откорректировать n по приведенной методике; если не отличается, то на этом расчет закончен.

^ст(х) – стандартная аппроксимация функции распределения случайной составляющей погрешности измерения, выбираемой из перечня, приведенного в приложении.

Пример. Крутящий момент двигателя М_е = 102,6 Нм;

М = 1,1 Нм; Р_с = 0,9.

= 0,6 Нм, норм.

Третий способ представляется стандартными аппроксимациями функций распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения и их средними квадратическими отклонениями (стандартами):

,

где (е) – оценка среднего квадратического отклонения систематической составляющей погрешности измерения в единицах измеряемой величины;

f_c^cт(х) – стандартная аппроксимация функции распределения систематической составляющей погрешности.

Стандартная аппроксимация функции распределения заключается в их нормировке, т.е. в исключении из рассмотрения значений случайных величин, лежащих вне выбранного интервала (х₁, х₂). Степень усечения определяется показателем х/. Так, для нормального закона распределения указанный интервал может быть выше 3, однако для стандартной аппроксимации он не превышает 3, для прямоугольного закона – 1,7, треугольного – 2,4 и трапецеидального – 2,3.

Применение той или иной формы представления результатов измерений в большей степени зависит от соотношения систематической и случайной составляющих результирующей погрешности.

Правила применения форм представления результатов измерений:

1. Если систематическая погрешность является определяющей, то достаточно выполнить одно измерение. В этом случае систематическая погрешность измерений полностью определяется средством измерения (СИ) и не может быть меньше погрешности СИ. В этом случае необходимо пользоваться первой формой представления результатов измерений.

2. Если случайная погрешность больше систематической, то измерения производятся столько раз, сколько необходимо, чтобы случайная погрешность среднего арифметического была меньше систематической погрешности  и последняя определяла бы результирующую погрешность измерений. Для этого необходимо, чтобы доверительный интервал х, определенный с необходимой степенью надежности Р, был меньше величины , т. е.  >>х. Это может быть выполнено при  /10 >>х. Однако при таком условии число измерений должно быть большим, поэтому на практике принимают /3 х.

Если в качестве оценки погрешности случайной составляющей брать среднее квадратическое отклонение (стандарт), то влияние случайной погрешности на результирующую погрешность можно устранить при условии   5, т. е., если средняя квадратическая погрешность не более чем в 5 раз меньше систематической погрешности. При больших значениях  для уменьшения роли случайной погрешности требуется большое число измерений (сотни или тысячи).

Оптимальное число измерений при выбранной надежности и установленном доверительном интервале в долях стандарта  =  х/s можно определить по табл. 3 приложения.

Для данного случая необходимо также использовать первую форму представления результатов измерений.

3. Если по каким-то причинам отсутствует возможность осуществления необходимого числа измерений с целью устранения влияния случайной погрешности, то последняя в одинаковой мере со систематической погрешностью определяет результирующую погрешность измерения. В этом случае используется вторая форма представления результатов измерений.

4. В ряде случаев, когда неизвестны точные значения систематических погрешностей, для повышения точности измерений осуществляют перевод систематических погрешностей в случайные. Это достигается такой организацией измерений, при которой постоянный фактор, влияющий на результат измерений, в каждом из них действует различным образом, что приводит к случайному характеру получаемых данных. Такой прием превращения систематических погрешностей в случайные называется рандомизацией. В этом случае используется третий способ представления результатов измерений.

5. На практике часто необходимо дать оценку результирующей погрешности вне зависимости от причин, ее породивших. Для этого существует ряд формул, позволяющих с выбранной вероятностью получить результирующую погрешность. Так, с вероятностью Р = 0,95 результат измерений не будет отличаться от истинного значения на величину, превышающую _

_ =  + 2S. (31)