3.6. Эффективная масса электрона

Периодическое поле кристалла существенным образом сказыва­ется на движении электронов в твердом теле под действием внешнего электрического поля.

Для свободных электронов сила где — напряженность внешнего поля, является единственной. На элек­i роны, находящиеся в кристалле, помимо силы F действует сила со < юроны внутреннего поля решетки.

Учтем действие этой силы. Скорость движения электронов в кри-галле равна групповой скорости распространения электронных ноли [1]:

(3.12)

Здесь со — круговая частота, энергия электрона . Работа внешней силы за время составит

откуда

(3.13)

Дифференцируя (3.12) по времени, получим

или

(3.14)

Где — ускорение электрона; — внешняя сила. Выражение (3.14) можно записать следующим образом:

(3.15)

По аналогии со вторым законом динамики Ньютона за массу ' юктрона, движущегося в кристалле под действием внешнего поля, можно принять величину, которую будем называть эффек/м«ено«л*ас-"W электрода

(3.16)

причем заметим, что для свободного электрона

Для уточнения физического смысла понятия эффективной массы рассмотрим упрощенный пример: в первой разрешен­ной энергетической зоне кристалла нахо­дится один электрон (рис. 3.15, о). В от­сутствие внешнего поля он будет распо­лагаться на дне зоны с волновым векто­ром = 0. При приложении к кристаллу внешнего поля электрон начнет уско­ряться и переходить на более высоко рас­положенные энергетические уровни. При небольших значениях кривая практически сливается с параболой, ха­рактерной для свободного электрона. С ростом растет взаимодействие электро­на с решеткой, кривая отклоняется от параболы, нарастание скорости умень­шается и в точке (точка перегиба) ско­рость достигает максимума. В точке электрон испытывает брэгговское отра­жение, его скорость становится равной нулю. На участке электрон ускоря­ется в направлении, противоположном направлению внешней силы, его ско­рость достигает максимального отрица­тельного значения в точке . На участке его скорость увеличива­ется до нуля (рис. 3.15, б).

Характер изменения эффективной массы электрона, задаваемый соотношением (3.16), показан на рис. 3.15, в. Характерно, что у дна зоны проводимости и у вершины валентной зоны значения эффек­тивных масс хотя и различны по величине, но практически постоян­ны. Это соответствует полученным при рассмотрении модели Крони­га—Пенни выводам о квадратичном характере зависимости у верхней и нижней границ разрешенных зон. Отметим также, что по­скольку электрон всегда располагается на нижних уровнях зоны про­водимости, положительные значения (вблизи ~ 0) являются эф­фективной массой электрона дырки же, как «антипод» электро­на, естественно располагаются у верхней границы валентной зоны

Значение , в этой области играет роль эффективной массы дырки

Подчеркнем, что введение понятия эффективной массы является лиишь удобным способом описания движения электрона, находящейся в периодическом поле кристалла, под действием внешней силы. Cама же эффективная масса не является массой в обычном смысле слова, она не определяет ни запаса энергии, ни инерционных, ни гра­витационных свойств электрона (см. задачу 3.4). По величине она может быть как больше, так и меньше массы электрона mэ по знаку —как положительной, так и отрицательной. В качестве примера приведем значения , для некоторых ме-талов: — 1,40; — 0,98; — 0,93. В то же время у палладия = 43, у висмута — 0,01.

Эффективные массы электронов и дырок для полупроводников даны ниже:

Эффективная масса электронов дырок тр

Германий 0,56m, 0,59m,

Кремний 1,08m, 0,37т,

Примеры решения задач

3.1. Оценить порядок ширины разрешенной зоны в кристалле с парамеиром решетки ( , значением эВ ( — высота потенциального барера, —энергия электрона).

Решение. Известно, что время жизни возбужденного состояния изолированных атомов = 10-8 с, откуда по соотношениям Гейзенберга неопреленность уровня энергии электрона, т. е. весьма мала.

естественная ширина спектральных линий, испускаемых возбужденныхI атомами.

Среднее время пребывания электрона у определенного атома в кристал­лу определяется прозрачностью барьера, разделяющего соседние атомы:

Где величина . Если ширина ямы, в которой находится электрон, равна , а скорость его движения , то за 1 с электрон пройдет к барьеру раз и частота электрона в соседней атом составит

При этом неопределенность времени пребывания электрона в данном шоме

При , и . Ширина разрешонной зоны .

3.2 Рассчитать концентрацию валентных электронов в натрия.

РЕШЕНИЕ. Концентрацию электронов рассчитывают по формуле

Удельный вес натрия вес моля натрия = кг/моль, постоянная Авогадро , тогда

3.3. Оценить порядок ширины разрешенной и запрещенной зон. Как они меняются при увеличении номера зоны?

Решение. Оценку ширины разрешенной и запрещенной зон можно произвести, положив в левой части соотношения (3.11) параметр .

Тогда

На границах запрещенных зон

где — порядковый номер зоны (см. рис. 3.14). Решения последнего уравне­ния очевидны: 1) = ялопределяет нижнюю границу запрещенной зоны; 2) определяет верхнюю границу запрещенной зоны. Ширина запрещенной зоны

При больших и . При этом .

Из полу-ад ял

ченного результата видно, что с ростом номера зоны ширина разрешенной зоны уменьшается (см. рис. 3.14). Ширина разрешенных зон составляет 2f

и растет с ростом номера зоны .

ял

3.4. При даже слабая сила, действуя в течение длительного вре­мени, способна разогнать электрон до значения (с — скорость све­та), что находится в противоречии с законами физики. Показать, по каким причинам этого не происходит.

Решение. При введении понятия эффективной массы рассматрива­лась идеализированная модель кристалла, не содержащего примесей и обла-

i нищая идеально правильной решеткой. В действительности в любом кри-| л пле присутствуют примеси, в том числе в виде ионов. При этом движение

• и кгронов может существенным образом отклоняться от прямолинейности 11 '^сеяние на примесях). Это отклонение тем больше, чем меньше скорость

• и ктрона, время взаимодействия электрона с полем иона растет, отклонение I лектории от прямолинейности увеличивается (рис. 3.16).

Второй причиной, не учтенной при выводе выражения для щ,, является плчичие тепловых колебаний атомов решетки. Представление о кристалле iK об идеально правильной геометрической структуре физически не кор-I кгно. На самом деле тепловые колебания атомов относительно положения I чшовесия (рис. 3.17) вызывают рассеяние электронных волн, что также * 11) и нодит к снижению скорости движения носителей в кристалле, еще боль­ше увеличивая сопротивление кристаллов протеканию в них электрическо-с тока. Неучет рассеяния на примесях и тепловых колебаниях решетки приводит к грубой физической ошибке, сформулированной в условии дан­ной задачи.