3.5. Модель Кронига—Пенни

Задача об отыскании собственных значений электронов, движу­щихся в периодическом поле кристалла (см. рис. 3.1), была впервые рассмотрена в модели Кронига—Пенни. В этой модели каждый ион кристалла представлен как потенциальная яма шириной . В яме по­тенциальная энергия электрона = 0. Авторы модели заменяют це­почку разделяющих соседние атомы скругленных барьеров (см. рис. 3.2) цепочкой прямоугольных барьеров высотой и шириной (рис. 3.12). Потенциальная энергия электронов, движущихся в таком поле, является периодической функцией координаты с периодом :

(3.1)

Уравнение Шредингера, описывающее движение электрона в та­ком поле, имеет

Уравнение Шреденгера, описывающее движение электрона в таком поле, имеет вид

(3.2)

Ф. Блохом было доказано, что волновые функции электрона, дви­жущегося в периодическом поле, имеют вид

(3.3)

т. е. представляют собой произведение плоской бегущей волны е на периодическую функцию , зависящую от волнового вектора к и имеющую период :

(3.4)

Рис. 3.12. Цепочка прямоугольных барьеров в модели Кронига-Пенни

Функцию (3.4) называют функцией Блоха.

Подставив решения Блоха (3.3) в уравнение Шредингера (3.2), получим

(3.5)

(3.6)

Где в области , где

В области уравнение (3.2) имеет решение

(3.7)

Где

Волновая функция электрона и ее первая производная долдны быть непрерывны. Это дает

(3.8)

(3.9)

Граничные условия (3.9) дают четыре уравнения относительно постоянных и . Для того чтобы эта система имела решение, ее 1 производная должен быть равен нулю. Вычисления приводят к выра­жжению

(3.10)

Для дальнейшего упрощения задачи будем считать, что толщина барьера b при одновременном увеличении его высоты , стремится к нулю, так что произведение остается постоянным. В этом случае постоянная решетки станет равной и (3.10) примет вид

Рис. 3.13. График функции Кронига-Пенни

(3.11)

Где

Обсудим результаты, полученные в модели. На рис. 3.13 приведен график функции, стоящей в левой части уравнения (3.11). Так как правая часть уравнения (3.11) по модулю всегда меньше или равна единице, то ад может принимать только такие значения, при которых

функция невыходит за пределы единицы

(горизонтальные линии на рис. 3.13). Эти значения на рис. 3.11 за­штрихованы. В соответствии с (3.11) это области разрешенных значе­ний электрона — разрешенные энергетические зоны. Они отделены

друг от друга областями, где

энергии электронов, соответствующие этим значениям , запреще­ны. Таким образом, рассмотренное в 3.1 появление разрешенных и запрещенных зон (см. рис. 3.3) подтверждается теоретическими рас­четами.

Рассматриваемая модель позволяет вычислить зависимость энер­гии электрона от волнового вектора . Для этого при заданном вы­числяют левую часть уравнения (3.11) для некоторых значений . По этим данным находят значения ka и по формуле (3.5) вычисляют энергию электрона Напомним, что для свободных электронов эта зависимость — параболическая функция (см. рис. 1.1). Полученная в модели Кронига—Пенни зависимость приведена на рис. 3.14, 1. Основным результатом расчета является появление в энергетическом спектре электрона, находящегося в периодическом поле кристалла, областей разрешенных и запрещенных зон.

Рис. 3.14. Зависимость энергии электрона от волнового числа k в модели Кронига-Пенни

Можно показать (см. задачу 3.3),что с возрастанием волнового вектора ширина разрешенних зон увеличивается, а ширина запрещенных зон уменьшается. То, что при k = 0 энергия электрона не равна нулю, является особенноcтью рассматриваемой модели. Расчеты показывают также, что у границ разрешенных зон зависимость является квадратичной, т. е. у нижней границы зоны и — у верхней ( и — энергии, отвечающие соответствующим границам зон; и - постоянные).

Выясним физический смысл разрывов энергии на границах зон. Ети разрывы имеют место при значениях волнового числа , где = ± 1, ± 2,...Значение k связано с длиной волны электрона проcтым соотношением: , откуда , которое называют ус­танем Вульфа—Брэггов для нормального падения электронных

волн на плоскости кристалла. При выполнении этого условия насту­пает отражение электронных волн от кристаллических плоскостей и

електронная волна представляет собой стоячую волну, состоящую из

двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях (падающую и отраженную). Этим двум волнам соответствуют два решения уравнения Шредингера и, соответственно, два различных зна­чения энергии электрона.

Заметим также, что в пределах первой разрешенной зоны cos(ka)

меняется в пределах , т. е Таким образом,

в единицах ширина первой разрешенной зоны равна . В пределах второй разрешенной зоны выполняется аналогичное соотноше­ние: так как изменяется в пределах и . Таким образом, размеры всех разрешенных зон в единицах / одинаковы и равны Области значений , в пределах которых энергия электрона меняется квазинепрерывно (вспомним о дискрет­ности значений энергии), а на границах терпит разрыв, называют зо­нами Бриллюэна. Тот факт, что все зоны Бриллюэна имеют одинако­вую протяженность, равную , дает возможность пользоваться значениями к только из первой зоны и выражать любые состояния электрона с помощью этого вектора. В самом деле, уравнению Шре-дингера удовлетворяет не только функция (3.3), но и функция

,так как

тоже периодична с периодом, равным периоду решетки. Все волно­вые векторы физически эквивалентны.

Это и позволяет любое состояние электрона, характеризующееся волновым вектором , выразить с помощью вектора из первой

зоны. Так, если -, то приведенный к первой зоне вектор будет

равен - и т. д. Приведенные зоны Бриллюэна показаны на

рис. 3.14 пунктирными линиями (2, 3).

Введение понятия приведенных зон Бриллюэна позволяет одно­значно решить вопрос о числе электронных подуровней в разрешен­ных зонах. Твердое тело можно мысленно разбить на кубики с ребром , где — число атомов, размещающихся на ребре — пери­од решетки. Периодические граничные условия в этом случае будут выглядеть как .Из последнего равен­ства следует, что . Решением этого уравнения являются дис­кретные значения Число возможных значений k определяется квантовым числом n, которое изменяется в пределах

Таким образом, число подуровней в зоне будет равно N, и это спра­ведливо для всех разрешенных зон, что доказывает утверждение о снятии перестановочного (по числу N) вырождения при образовании кристалла.