3. Зонная теория твердых тел

3.1. Образование энергетических зон в кристалле при сближении атомов

В 2.1 упоминалось о том, что при сближении атомов (образовании кристалла) электроны соседних атомов приобретают способность пе­реходить от атома к атому, образуя так называемый электронный газ. Рассмотрим этот процесс несколько подробнее.

Р и с. 3.1. Одномерная решетка кристалла натрия

На рис. 3.1 показана одномерная кристаллическая решетка, со­стоящая из атомов натрия. Энергетическая структура изолированно­го атома натрия приведена ранее (см. рис. 1.5). При сближении ато­мов натрия до расстояний порядка параметров решетки (единицы ангстрем) потенциальные барьеры соседних атомов накладываются друг на друга и дают результирующую потенциальную кривую, вер­шины которой лежат ниже уровня свободного атома натрия. Та­ким образом, электроны этого уровня могут свободно передвигаться по всему кристаллу, образуя электронный газ. Электроны располо­женных ниже энергетических уровней соседних атомов разделяют потенциальные барьеры с меняющимися высотой и шириной.

Рис. 3.2. Барьеры, разделяющие электроны различных уровней

Наименьшие высота и ширина потенциального барьера наблюда­ются у электронов уровня (рис. 3.2), наибольшие — у электронов уровня .

Однако независимо от характеристик барьеров принципи­ально важным является то, что электроны соседних атомов могут тун­нельным путем (см. 1.3) переходить от атома к атому.

Вероятность этих переходов наибольшая для электронов уровня и уменьшается для нижележащих уровней и (см. формулу (1.26)). Теряет смысл утверждение, что данный электрон принадлежит данному атому, они одновременно принадлежат всем атомам кристалла: это обобществ­ленные электроны.

Рис 3.3. Образование энергетических зон в твердых телах

Так как вероятность меняется от уровня к уровню, меняется и вре­мя пребывания электронов у данного атома. Так, для электронов группы неопределенность наименьшая, для электронов она возрастает и становится еще большей для электронов внутренней оболочки . Из соотношения неопределенностей сразу же вытекает, что энергетические уровни изолированного атома натрия (см. рис. 1.5) при образовании кристалла расширяются, образуя так называемые разрешенные энергетические зоны. Естественным результатом является и то, что

энергетическая зона, образованная

при расширении уровня , больше, чем разрешенные зоны уровней и (рис. 3.3). Расчеты показывают, что при расстояниях между aтомами порядка 1Å неопределенность времени примерно равна 10-15 с, а ширина разрешенной энергетической зоны порядка 1 эВ (см. задачу 3.1).

3.2. Внутренняя структура разрешенных энергетических зон

В случае движения свободного электрона его энергия меняется непрерывно (см. рис. 1.1),

поэтому в любом бесконечно малом интер­вале энергий может содержаться любое их число. В кристаллах енергия электронов меняется дискретно,

их полное размещение внутри самой низкоэнергетической зоны, образованной при расши­рении уровня можно подвергнуть сомнению.

Вопросы кратности вырождения уровней также следует проанализировать. В кристалле, состоящем из атомов, электрон с данной енергией может находиться у любого атома. Появляется новое вырождение уровней по числу атомов в кристалле, которое называют перестановочным..

Теория и практика показывают, что при сближении атомов воз­никающее между ними взаимодействие приводит к снятию переста­новочного вырождения и вырождения по магнитному квантовому чеслу . Вырождение по спиновому числу сохраняется. Следовательно каждый энергетический уровень изолированного атома образует разрешенную энергетическую зону, содержащую подуров­ней ( —перестановочное вырождение, - вырождение по . Расстояние между подуровнями легко подсчитать. В кристалле енергия объемом 1 м3 содержится примерно 1029 электронов (см. задачу 3.2). При ширине разрешенной зоны - 1 эВ расстояние между подровнями составляет 10-29 эВ. Тем не менее разрешенные зоны нельзя считать полностью непрерывными, так как число подуровней в нeй конечно. Общее число электронов, которое может заполнить

разрешенную зону, равно (2— вырождение по спину).

Отметим, что основной причиной, приводящей к расщеплению разрешенних зон на подуровни, является снятие перестановочного вырождения. Даже уровень с ( -уровень) расщепляется на подуровни соответствующей зоны. Ниже увидим, что конечность числа подуровней в зоне и, следовательно, числа электронов в ней играет определяющую роль в делении твердых тел на диэлектрики, металлы и полупроводники.