- •Понятие модели. Построение математической модели.
- •Виды моделей:
- •Классификация моделей:
- •Критерий эф. (целевая функция)
- •Основные принципы построения целевой функции.
- •Неопределенность целей. Виды неопределенности.
- •Критерий Лапласа для выбора целевой функции в условиях неопределенности.
- •Правила приведения задачи лп к стандартной форме для решения симплекс-методом и выбор базисного решений.
- •Условия оптимальности базисного решения и правила преобразования симплекс-таблицы для выбора другого базисного решения при мах целевой функции.
- •Условия оптимальности базисного решения и правила преобразования симплекс-таблицы для выбора другого базисного решения при мин целевой функции.
- •Правила нахождения параметров модели двойственной задачи из прямой задачи.
- •Практическое применение двойственных задач.
Правила нахождения параметров модели двойственной задачи из прямой задачи.
Каждому из m ограничений математической модели в прямой задаче соответствует переменная двойственной задачи. Т.е Количество ограничений прямой задачи= Количеству переменных в двойственной задаче F= c1x1 + c2x2→max
a11x1 + a12x2 <= b1, 5 переменных : у1, у2..
a21x1 + a22x2 <= b2
a31x1 + a32x2 <= b3
a41x1 + a42x2 <= b4
a51x1 + a52x2 <= b5
Каждой из n переменных прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи. Т.е количество переменных в прямой задаче= количеству ограничений в двойственной задаче
Матрицу коэффициентов при переменных в двойственной задаче получают из матрицы коэффициентов прямой задачи с помощью простой замены строк столбцами с сохранением их порядка.
Правая часть ограничений двойственной задачи равна коэффициенту при переменных выражениях целевой функции прямой задачи
При целевой функции двойственной задачи, в состав которой входят 5 установленных переменных. Коофиценты при перепенных равны прывам частям ограничений прямой задачи.
a11x1 + a12x2 <= b1 → F(двойственной)= b1+b2 + b3+b4+b5
a21x1 + a22x2 <= b2
a31x1 + a32x2 <= b3
a41x1 + a42x2 <= b4
a51x1 + a52x2 <= b5
Правила нахождения знаков модели в двойственной задаче.
Прямая задача |
Двойственная задача |
||
Целевая функция F |
Тип ограничений |
Целевая функция F |
Тип ограничений |
Max |
<= |
max |
>= |
min |
>= |
Min |
<= |
Согласно таблице перед преобразованием прямой задачи в двойственную знаки в ограничениях должны соответствовать типу оптимизации целевой функции
Если ограничение в прямой задачи соответствует типу оптимизации (то есть при max ограничение ≤, а при min ограничение ≥), то переменные в двойственной задаче положительные.
Если какое-то ограничение не соответствует типу оптимизации, то соответствующая переменная в двойственной задаче будет отрицательна.
Если ограничение в прямой задаче представлено в виде равенства, то соответствующая переменная в двойственной задаче может принимать любые значения.
Задача максимизации |
Задача минимизации |
Ограничения |
Применения |
>= |
<=0 |
<= |
>=0 |
= |
Любое значение |
Применение |
Ограничения |
>=0 |
>= |
<=0 |
<= |
Положительное и отрицательное |
= |
Практическое применение двойственных задач.
При использовании симплекс-метода для решения задач линейного программирования объём вычислений определяется количеством ограничений.
Если число ограничений в исходной задаче велико и значительно превышает число переменных, то выгодно решать двойственную задачу.
Например,если прямая задача имеет 100 переменных и 500 ограничений, то предпочтительнее нахождение решения двойственной задачи. При этом прямая и двойственная задачи так взаимосвязаны, что оптимальное решение одной задачи можно получить непосредственно (без дополнительных вычислений) из симплекс-таблицы, представляющей оптимальное решение другой задачи.
Для этого с моделями двойственной и прямой задачи выполняют соответствующие преобразования для сведения их параметров в симплекс-таблицу