9. Основные теоремы о непрерывных функциях.

1)Если фун-ия непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке

2)Пусть f(x) определена и непрерывна в х₀,f(x₀)≠0,тогда сущ. δ >0 такое что для всех х, удовл. условию Ιх-х₀Ι<δ,тогда х ∈(x₀-δ, x₀+δ), то ф.имеет тот же знак, что и f(x₀)

3)Если фун-ция непрерывна на отрезке [a;b] и значения её на концах отрезка имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся точка , такая, что

4)Пусть f(x) и g(x) непрерывны в т. х_о. Тогда и f(x)+(-) g(x), f(x) *(/) g(x) так же непрерывны в х₀.

Теоремы о непрер.сложной и обратной ф.

1.Пусть функция j(x) непрерывна в точке x₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=j(x₀). Тогда функция f(j(x)) непрерывна в точке x₀.

2.Пусть f(x) определена,непрерыв. И строго монотона на нек. промежутке Х. Тогда на У обратная ф. х =µ(у) однозначна, непрерывна и строго монотонна.

10. Понятие производнойю Геометрический и физический смысл производной.

Производной фун-ии назыв. предел отношения приращения фун-ии к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел сущ-ет):

Замечание: если вычесленный предел равен ∞,говорим произв .=∞. Если произв. Конечно, то её можно снова рассматривать как фун.

Нахождении производ. фун-ии назыв. дифференцированием этой фун-ии.

Геометрич. смысл произв-ой: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к кривой

Физич. смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент :

11. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие.

Если фун-ция в точке х имеет конечную производную, то фун-ия назыв. дифференцируемой в этой точке. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение представимо в виде:

Δy =A* Δx+α(Δx)(Δx) ,

где A — число, не зависящее от Δх, а α(Δx) –б.м.ф.

Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную.

Необходимо

Дано: Δy=A Δx+α(Δx) Δx

Док-ть.y’(x₀)=A

y’(x0)=LimΔy/Δx

(Δx →0)=Lim(A+α(Δx))=A

Достаточно

F’(x)=Lim Δy/Δx есть некое конечное число

Док-ть. : Δy=A Δx+α(Δx) Δx

Lim(Δx→0) (A Δx+α(Δx) Δx)/ Δx=A

12. Теоремы о производных.

Теорема. Если существуют производные  и функций и , то существует

;

Следствие.  так как  (рис. 32), т.е. постоянный множитель выносится за знак производной.

Теорема. Если функция в точке имеет производную, то она в этой точке непрерывна.

Обратное неверно.

13.Производная сложной функции. Теорема о производной сложной функции

Если y=f(u), где u=(x), т.е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

dy/dx=dy/du*du/dx, или y’=f’(u)*u’(x).

Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция  имеет производную в точке , причем .

14.Производная обратной функции.Пусть фун-ия дифференцируема и строго монотонна на (a;b). Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая фун-ия , котор. называют обратной к , а её производная вычисляется по формуле

15. Таблица производных Производной функции y=f(x) в точке x₀ (обозначается y'(x₀) или f’(x₀)) называется предел отношения приращения функции в этой точке ∆y=f(x0+∆x)-f(x0) к приращению аргумента ∆x при ∆x0, если этот предел существует:

y’(x₀)=lim∆x-->0 f(x₀+∆x) – f(x₀)/ ∆x.