3.7. Формулировка гипотезы о законе распределения

Одна из важнейших задач анализа вариационных рядов заключается в выявлении закономерности распределения и определении ее характера. Основной путь в выявлении закономерности распределения - построение вариационных рядов для достаточно больших совокупностей. Большое значение для выявления закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда:  выбор числа групп и размера интервала варьирующего признака.

Когда мы говорим о характере, типе закономерности распределения, то имеем в виду отражение в нем общих условий, определяющих вариацию. При этом речь всегда идет о распределениях качественно однородных явлений. Общие условия, определяющие тип закономерности распределения, познаются анализом сущности явления, тех его свойств, которые определяют вариацию изучаемого признака. Следовательно, должна быть выдвинута какая-то научная гипотеза, обосновывающая определенный тип теоретической кривой распределения.

Под теоретической кривой распределения понимается графическое изображение ряда в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариантов (значений признака). Теоретическое распределение может быть выражено аналитически - формулой, которая связывает частоты вариационного ряда и соответствующие значения признака. Такие алгебраические формулы носят название законов распределения.

Большое познавательное значение имеет сопоставление фактических кривых распределения с теоретическими.

Часто пользуются типом распределения, которое называется нормальным.

Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается предположение о том, что распределение в генеральной совокупности подчиняется какому-то определенному закону. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основании сравнения фактических (эмпирических) частот с предполагаемыми (теоретическими) частотами сделать вывод о соответствии фактического распределения гипотетическому распределению.

Под гипотетическим распределением необязательно понимается нормальное распределение. Может быть выдвинута гипотеза о биномиальном распределении, распределении Пуассона и т.д. Причина частого обращения к нормальному распределению в том, что в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из них не имеет преобладающего влияния. Закон нормального распределения лежит в основе многих теорем математической статистики, применяемых для оценки репрезентативности выборок, при измерении связей и т. д. В социально-экономической статистике нормальное распределение встречается редко, но сравнение с ним важно для выяснения степени и характера отклонения от него фактического распределения.

3.8. Задача проверки статистических гипотез

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности, которое можно проверить по выборке. Как правило, статистические гипотезы делят на гипотезы о законах распределения и гипотезы о параметрах распределения.

Пусть    - закон распределения случайной величины х, зависящий от одного параметра . Предположим, что наша гипотеза состоит в утверждении, что . Назовём эту гипотезу нулевой и обозначим её Н₀ . Альтернативной, или конкурирующей гипотезой, которую обозначим Н₁ , будет . Перед нами стоит задача проверки гипотезы Н₀ относительно конкурирующей гипотезы Н₁ на основании выборки, состоящей из п независимых наблюдений Х₁ ,Х₂, …, Х_п . Следовательно, всё возможное множество выборок объёма п можно разделить на два непересекающихся подмножества    ( О и W) таких, что проверяемая гипотеза Н₀ должна быть отвергнута, если наблюдаемая выборка попадает в подмножество W  и принята, если выборка принадлежит подмножеству О.

Подмножество О называют областью допустимых значений, а подмножество W – критической областью. При формировании критической области возможны ошибки.

Ошибка первого рода состоит в том, нулевая гипотеза отвергается, то есть принимается гипотеза Н₁ , в то время как в действительности верна гипотеза Н₀

Ошибка второго рода  состоит в том, что принимается гипотеза Н₀ , а в действительности верна гипотеза Н₁.

Для любой заданной критической области будем обозначать через   вероятность ошибки первого рода, а через - вероятность ошибки второго рода. Следовательно, можно сказать, что при большом количестве выборок доля ложных заключений равна , если верна гипотеза Н₀  , и , если верна гипотеза Н₁. При фиксированном объёме выборки выбор критической области W позволяет сделать как угодно малой либо , либо .

Существует несколько критериев согласия для проверки законов распределения случайной величины. Мы остановимся лишь на критерии Пирсона – это наиболее часто употребляемый критерий для проверки закона распределения случайной величины.

Сначала нужно разбить всю область изменения случайной величины на l  интервалов (бин). Затем нужно подсчитать сколько этих величин попадает в каждый бин, подсчитать эмпирические частоты  . Чтобы вычислить теоретические частоты нужно вероятность попадания в каждый бин р_i умножить на объём выборки п.  Таким образом, статистика

 

является случайной величиной, подчиняющейся закону с  степенями свободы. В последней формуле – число параметров распределения, определяемы по выборке. Для нормального закона – это два параметра, для закона Пуассона – один и т.д.

   Рассчитав значения и выбрав уровень значимости , по таблице -распределения определяют . Если , то гипотезу Н₀  отвергают, если  то гипотезу принимают.