26. Момент импульса и линия действия силы

27. Центр силы

2.2Законы изменения и сохранения энергии материальной точки

2.2.1Потенциальные силы

Следовательно, в этом примере как полная, так и частная производные потенциальной энергии по времени отличны от нуля. (конец задания 8 Леошко, стр. 70)

2.2.2Гироскопические силы (начало задания 9 Тимошенко, стр. 70)

2.2.3Диссипативные силы

2.2.4Теорема Клаузиуса о вириале сил

2.2.5Пример 2.1 Движение через потенциальный барьер

2.2.6Пример 2.2. Заряд в неоднородном магнитном поле

2.3Движение в центрально-симметричном поле

28. Движение по инерции относительно системы координат с началом, не лежащим на траектории точки

29. Область r₁ < r < r₂

30. График зависимости эффективной энергии от расстояния до центра

(конец задания 9 Тимошенко, стр. 82)

2.4Движение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра силы. Законы Кеплера (начало задания 10 Плотников, стр. 82)

31. Виды орбит в зависимости от значения полной энергии

(конец задания 10 Плотников, стр. 89)

2.4.1Пример 2.3. Изменение орбиты космического корабля (начало задания 11 Кондратенко, стр. 89)

Изменение орбиты космического корабля. Пусть в момент прекращения работы двигателя космический корабль массы m находился на расстоянии

от центра Земли и имел скорость , направленную под углом к радиусу-вектору корабля (рис. 2.7).

Определить элементы орбиты корабля в плоскости его движения, пренебрегая сопротивлением атмосферы, если напряженность поля тяготения на поверхности Земли равна g, а радиус Земли равен R. Насколько нужно изменить кинетическую энергию корабля в перигее, чтобы он перешел на орбиту приземления, изображенную на рисунке штриховой линией (изменением массы корабля в результате достаточно кратковременной работы двигателя можно пренебречь)? Учитывая лишь силу притяжения корабля Землей принебрегая воздействием всех прочих тел, мы можем .воспользоваться общим решением задачи о движении точки в центральном поле. Поместим начало системы координат в центр Земли, так как он является центром силы притяжения. Плоскость Охy совместим с плоскостью орбиты, сохраняющей свою ориентацию относительно гелиоцентрической системы отсчета, а ось Ох .направим на ближайшую к центру Земли точку орбиты-Перигей. Выбранную систему можно считать инерциальной для достаточно больших интервалов времени. Выразим постоянные a, и входящие в общее решение задачи о движении точки в центральном поле, через постоянные," заданные в условии примера. Полагая, в частности, в (1.49), что а массы и соответственно равны массе корабля и массе Земли , найдем

Тогда потенциальная энергия корабля-спутника (см. 2.69) принимает вид

. (1)

Полная энергия и момент импульса спутника в начальный момент времени соответственно равны

. (2)

С помощью этих выражений на основе (2.72) можно убедиться, что траекторией рассматриваемого тела будет;

гипербола, если ,

парабола, если ,

эллипс, если ,

окружность, если ,

где -первая космическая скорость,а -вторая космическая скорость. Параметр и эксцентриситет орбиты, выраженные через начальные условия, находим, используя (2.70) и формулы (2) настоящего примера:

. (4)

С помощью (2.74) и (2.85) получим выражения полуосей, справедливые как в случае эллипса, так и в случае гиперболы:

, (5)

Наконец, согласно (2.80) период полного оборота спутника по эллипсу равен

, (6)

Если орбита спутника известна, то его положение в любой момент времени определяется законом (2.78). Величину скорости как функцию r легко найти из интеграла энергии

. (7)

Направление же скорости можно определить, отыскивая с помощью интегралов момента и энергии величины и как функции r:

, (8)

поскольку отношение этих функций дает как функцию r. Теперь найдем изменение кинетической энергии, при котором космический корабль перейдет на орбиту приземления. Так как в перигее радиальная составляющая скорости корабля равна нулю, а расстояние до центра силы минимально, то из формулы (8) найдем

, (9)

Эту скорость нужно изменить так, чтобы корабль стал двигаться по эллипсу, касающемуся поверхности Земли. Большая полуось

новой орбиты при этом будет равна

Учитывая, что , определим полную энергию

,

которой корабль должен обладать при движении по заданной орбите приземления. Затем, пользуясь сохранением полной энергии корабля, движущегося по новой орбите, получаем значение кинетической энергии корабля на орбите приземления в точке

. (10)

Наконец, из формул (9) и (10) находим требуемое изменение кинетической энергии

,

Где , a p и определены формулами (4) настоящего примера.