13. Метод Грассбергера-Прокачча, определения числа существенных параметров динамической системы. Зональность кристаллов.

Другой способ вычисления даёт корреляционную размерность. Этот алгоритм Грассбергера и Прокачча основан на суммировании функции Хевисайда H (попадает точка в куб с ребром s или нет):

для всех пар значений i и j, если i №j, ЅXi-XjЅ - абсолютная величина расстояния между соседними экспериментальными точками, i, j = 1,2,3,...,n, где n - количество точек. Величина суммы зависит от s, причем где D - фрактальная размерность. Для практического вычисления размерности выделяют области скейлинга и проделывают описанную выше процедуру.

Зональность - в кристалле изменение свойств и состава по определенным зонам, обычно зонам роста.

11. Рост кристалла как процесс фрактального кластера.

Ф рактальными свойствами обладают многие объекты живой и неживой природы. Обычная снежинка, многократно увеличенная, оказывается фрактальным объектом. Фрактальные алгоритмы лежат в основе роста кристаллов и растений. Взгляните на ветку папоротникового растения, и вы увидите, что каждая дочерняя ветка во многом повторяет свойства ветки более высокого фрактального уровня.

Для описания фрактальных структур, встречающихся на микромасштабах, широко используют понятие кластер (на рисунке). Это - скопление близко расположенных, тесно связанных друг с другом частиц любой природы (атомов, молекул, ионов и иногда ультрадисперсных частиц) общим количеством 2-100 частиц. В последнее время термин кластер распространяется и на системы, состоящие из большого числа связанных макроскопических частиц.

Введено также понятие фрактального кластера, под которым понимают структуру, образующуюся в результате ассоциации частиц при условии диффузионного характера их движения. Основной чертой фрактального кластера является то, что средняя плотность частиц в нем r (r) падает по мере удаления от образующего центра по закону r (r)= const / ra , (2.9) где r- расстояние от центра.

Во многих случаях фракталы образуют ветвистые древовидные формы — дендриты (от греч. dendron — дерево). Примером таких фракталов являются морозные узоры на стекле, потолке погреба и других поверхностях, на которых происходит отложение и кристаллизация водяных капель.

Самородные металлы — золото, серебро, медь и другие — в природе часто встречаются в форме дендритов. Дендриты возникают в результате ограничения диффузией (процесс взаимного проникновения молекул одного вещества между молекулами другого, приводящий к самопроизвольному выравниванию их концентраций по всему занимаемому объёму) агрегации осаждаемых при росте кристалла атомов. Атомам легче осесть вблизи выступа структуры, чем в ее глубине, попасть куда маловероятно, не «застряв» по пути. Внимательное изучение таких структур (рис. 23.10) показывает, что дендриты представляют собой фрактальные кластеры (от англ. cluster — гроздь).

На начальном этапе процесса кристаллизации из расплава сталей и сплавов образуются критические зародыши новой фазы, имеющие пористую фрактальную структуру. Она способность захватывать большое пространство при использовании малого количества вещества. Это становится возможным за счет создания ажурной, сильно разветвленной структуры (пористой). Плотность частиц фрактального кластера снижается от центра к периферии. Поэтому для него, фактически, не существует поверхности раздела с окружающей средой. Его структура как бы плавно перетекает в структуру окружающей среды. Вероятнее всего, в случае фрактального строения критического зародыша новой фазы не существует энергетического барьера для его образования. Фрактального строения зародышей новой фазы является меньшее по сравнению с плотным кластером количество частиц, необходимое для его образования.

Вследствие иерархичного строения материи процесс кристаллизации и рост фрактальных частиц на начальных этапах имеет ступенчатый характер. Сам термин "критический зародыш" при этом остается справедливым, однако физический смысл его приобретает иное значение: скорость роста конденсированных фрактальных частиц новой фазы остается очень малой, пока структура частиц в процессе их роста, а следовательно, и их радиус, не достигнут критического состояния.

Параметром состояния структуры примем фрактальную размерность Dfкласт распределения частиц в кластере. Сам кластер находится в трехмерном объеме расплава. Как только структура расположения частиц в критическом зародыше становится таковой, что фрактальная размерность образовавшегося из них кластера Dfкласт = 2.5, кластер приобретает особые свойства. Такой кластер называется пористый фрактальный кластер. В нем одновременно возможна двусторонняя перколяция (протекание). То есть образуются два вложенных друг в друга перколяционных кластера: один, состоящий из частиц кластера, другой - из материала среды, окружающей кластер.

Поверхность такого кластера имеет фрактальную размерность DfS=3. Поверхность ведет себя как обычное твердое тело, имеющее объемные свойства. Теоретически, любой точки этого твердого тела можно "коснуться" снаружи, поэтому критический зародыш новой фазы представляет собой идеальный пористый объект.