§9.5. Построение исчисления предикатов.

1. Язык исчисления предикатов.

В качестве алфавита исчисления предикатов возьмем то же самое множество

Ҩ= σ U X U O

которое служило алфавитом при определении формул алгебры предикатов. За элементами множества σ, Х и О сохраним те же самые обозначения и названия, хотя здесь на все буквы алфавита Ҩмы должны пока смотреть просто как на символы, не имеющие какого-либо содержательного смысла. Например, символ операцииfздесь не обозначает какую-либо конкретную операцию, определенную на каком-либо конкретном множестве. То же относится и к символам предикатов. Термины же «символ операции» и «символ предиката» объясняются тем, что в приложениях исчисления предикатов к конкретным математическим теориям мы будем трактовать их (интерпретировать) как операции и предикаты на конкретном множестве. Аналогично, предметным переменным будут придаваться значения из этого множества.

Понятия терма и формулы сигнатурыσв исчислении предикатов определяются буквально так же, как в алгебре предикатов.

Равенство формул, как и в алгебре предикатов, будем обозначать знаком =.

Из множества всех формул ниже особую роль будут играть формулы, не содержащие свободных вхождений предметных переменных. Они называются замкнутыми формулами, или предложениями.

Таким образом, нами полностью определен язык исчисления предикатов 1-й ступени сигнатурыσ.Обозначим его буквойα.При формул языкаαбудут использоваться те же правила сокращения скобок, что и в алгебре предикатов.

Заметим, что кроме исчисления предикатов 1-й ступени в математической логике и в теории моделей рассматриваются исчисления предикатов и логические языки 2-й ступени. В их алфавиты кроме перечисленных выше символов вводятся также символы функциональных и предикатных переменных и кванторы ,  могут навешиваться не только на предметные переменные, но и на функциональные переменные и предикатные переменные.

2.Аксиомы и правила вывода исчисления предикатов.

При построении исчисления предикатов с определенным выше языком α аксиомы и правила вывода могут выбираться по-разному. Мы выберем следующую систему аксиом. Аксиомы этой системы по используемым в них логическим операциям делятся на 5 подсистем, которые мы занумеруем римскими цифрами. В подсистемахl - lVпод буквамиА, В, Спонимаются произвольные формулы языкаα,ограничения на формулы системыVуказываются в формулировках соответствующих аксиом.

12. 1) A->(B->A)

2) (A->(B->C))->((A->B)->(A->C))

38. 1) AB->A

2. 2) AB->B

3. 3) (A->B)->((A->C)->(A->BC))

lll. 1) A->AvB

2) B->AvB

3) (A->C)->((B->C)->(AvB->C))

—

IV. 1) A->A

—

2) A->A

3)(A->B)->(B->A)

V. 1)x A(x)->A(t)

2) A(t)->x A(x).

гдеA(x)– формула, содержащая свободные вхождения переменнойх,A(t) – формула, полученная заменой в A(x) всех свободных вхожденийxтермомt,удовлетворяющим условию: ни одно свободное вхождениехвA(x)не находится в области действия квантора по какой-либо переменной, содержащейся вt (при этом условии говорят, что термtсвободен дляхв формулеA(x)) (далее аксиомы будут обозначаться римскими цифрами с индексами. Например,ll₃– аксиома3из подсистемыll).

Сформулируем теперь правила вывода. Каждое такое правило позволяет из некоторого множества исходных формул получать новую формулы. Поэтому правило вывода записывают обычно в виде «дроби», у которой в «числителе» находятся исходные формулы, а в «знаменателе» – вновь получаемая формула.

l. Правило заключения:

A, A ->B,

B

гдеА, В– любые формулы языкаα.

ll.Правило -введения:

B -> A ,

B->xA

гдеАсодержит,аВне содержит свободные вхождения переменнойх.

lll.Правило -удаления:

A -> B ,

x A->B

гдеА, В– формулы, удовлетворяющие тем же условиям, что и в правилеll.

Формула, находящаяся в «знаменателе» правила вывода, называется непосредственным следствием формул «числителя».

Заметим, что, подставляя в аксиомуl₁вместоА, В произвольные формулы, мы получим бесконечное множество формул. Таким образом, запись аксиомыl₁является, по существу, схемой, по которой можно получать формулы. То же можно сказать об остальных аксиомах и о формулах из правил вывода.

Определив язык α и аксиомы с правилами вывода, мы определили тем самым логическое исчисление, называемое исчислением предикатов 1-й ступени сигнатурыσ.Меняяσ, т. е. меняя множество формул и сохраняя схемы аксиом и правил вывода, мы будем получать другие исчисления предикатов. В дальнейшем языкαбудем считать фиксированным и соответствующее логическое исчисление будем обозначать той же буквой α.