Предложение

х P(x, y)

зависит только от переменной у и принимает значение «л» при любом значении у, поскольку в N не существует чисел, делящихся на все натуральные числа , т.е.

х P(x, y) = л

Пример 8.2.12.

Р(х, у) – то же самое, что и в примере 8.2.11, тогда

х P(x, y)  и

зависит от у и принимает значение «и» для всех значений у.

Аналогично

у P(x, y)  и

Для всех значений х.

Лекция №9. Исчисление предикатов.

§9.1 Общее понятие о логическом исчислении.

В настоящее время большинство математических теорий строится дедуктивно. В основу теории кладется какое-либо достаточно хорошо обозримое множество основных понятий и утверждений, называемых аксиомами. Все остальные понятия определяются через основные или уже до этого определенные понятия, а все утверждения теории выводятся, как говорят, логически из аксиом или уже до этого доказанных утверждений. В любой такой теории естественно возникают вопросы:

• всякое ли утверждение, сформулированное в терминах данной теории, можно доказать или опровергнуть (вопрос о полноте);

• нельзя ли в этой теории доказать какое-либо утверждение и его отрицание (вопрос о непротиворечивости) и др.

такие вопросы можно считать корректными лишь в том случае, если будут точно определены понятия утверждения, сформулированного в терминах данной теории, и понятие доказательства. В ответ на такие потребности математики и возникли различные логические исчисления, призванные форматировать те или иные фрагменты математических теорий, а также доказательства в этих теориях.

Каждое логическое исчисление характеризуется:

1. набором используемых в нем символов, или алфавитом;

2. правилами построения из алфавита осмысленных утверждений, или формул;

3. некоторым фиксированным наборам формул, называемым системой аксиом;

4. наборами правил.

Алфавит, правила образования формул и само множество формул образуют язык исчисления, а правила преобразования формул образуют синтаксис исчисления.

Язык логического исчисления должен выбираться так, чтобы с его помощью можно было записать, или формализовать, возможно большее число утверждений. Разные формальные языки отличаются друг от друга широтой охвата формализованных в них утверждений, или выразительностью, а также ориентации на изучение той или иной теории.

Аксиомы и правила вывода логического исчисления позволяют выделить из множества всех формул так называемые доказуемые формулы, или теоремы. К ним относятся все аксиомы, а также формулы, которые могут быть получены из аксиом с помощью правил вывода. Если исчисление создается для обслуживание какой-либо математической теории то естественно требовать, чтобы все доказуемые в нем формулы были формализацией истинных утверждений теории. Этот фактор должен накладывать определенные ограничения на выбор аксиом и правил вывода исчисления. В тоже время набор аксиом и правил вывода должен достаточно богатым, чтобы с его помощью можно было доказать возможно большее число истинных утверждений теории.

Правила, определяющие содержательный смысл формул исчисления, и соответствие между понятиями доказуемости и истинности формул составляют предмет так называемой семантики логического исчисления.