Рассмотрим 3-местный предикат

P(x, y, z) =  и, если z = x + y,

 л, если z  x + y,

на множестве N. Заменив х на 2 получим новый 2-местный предикат P(2,y,z)

P(2, y, z) =  и, если z = 2 + y,

л, если z  2 + y,

который можно записать, например, в виде «Число z на две единицы больше числа y».

2. Пусть Р(x₁, …, x_n) - произвольный предикат на множестве М и n  2. Заменим х₁ на х₂ (или, как говорят, отождествим переменные х₁, х₂). В результате получим (n-1)-местный предикат

Р(x₁, х₂, х₃, …, x_n).

Аналогично можно получить из предиката Р(x₁, …, x_n) новые предикаты, отождествляя какие-либо другие переменные.

Пример 8.2.8.

Отождествляя переменные х и у в предикате из примера 8.2.7, получим 2-местный предикат

P(у, y, z) =  и, если z = 2y,

л, если z  2y,

на множестве N. Этот новый предикат можно записать, например, в виде предложения «Число z в два раза больше числа у».

3. Учитывая связь понятия предиката с понятием высказывания, можно определить логические операции для предикатов. Если Р – n-местный предикат, а q – m-местный предикат, и переменные, входящие в Р, не входят в q, то через Pq обозначим (m+n)-местный предикат, значение которого при конкретных значениях переменных равно дизъюнкции соответствующих значений предикатов P и q.

Аналогично определяются конъюнкция и импликация предикатов, а также отрицания предиката.

4. Кроме операций , , ->, для предикатов на множестве можно определить еще логические операции навешивания кванторов всеобщности и существования.

Рассмотрим n-местный предикат Р(x₁, …, x_n) на множестве М. Добавив к нему фразу «Для всех х₁» или «Для всякого х₁», получим новое предложение, которое обозначим в виде

 x₁ Р(x₁, …, x_n). (8.2.9)

Из построения этого предложения видно, что при замене в нем переменных х₂,…,х_n соответственно элементами а₂, …, а_n получится высказывание

 x₁ Р(x₁,а₂, …, а_n),

которое истинно в том и только том случае, когда высказывание Р(а, а₂, …, а_n) истинно при любом а  М. Таким образом, (8.2.9) является (n-1)-местным предикатом. При этом говорят, что предикат (8.2.9) получен из предиката Р навешиванием квантора всеобщности по переменной х₁. Отметим, что квантор всеобщности  можно навешивать и по другим переменным.

Добавляя перед предикатом Р(x₁, …, x_n) фразу «Существует х₁, такое что», получим новое предложение, которое обозначается в виде

 x₁ Р(x₁, …, x_n) (8.2.10)

Подставив в него элементы а₂, …, а_n вместо x₂, …, x_n, получим высказывание

 x₁ Р(x₁,а₂, …, а_n),

которое истинно в том и только том случае, когда высказывание Р(а, а₂, …, а_n) истинно хотя бы при одном а из М. Следовательно, предложение (8.2.10) есть (n-1)-местный предикат на М.

Символ  называется квантором существования, а о предложении (8.2.10) говорят, что оно получено из предиката Р(x₁, …, x_n) навешиванием квантора существования по переменной х₁. Квантор существования  можно навешивать и по другим переменным.

Пример 8.2.11.

Пусть Р(х, у) есть предикат на N

P(x, y) =  и, если x делит y,

л, если x не делит y,

тогда предложение

у Р(х, у)

зависит только от переменной х.

При х = 1 оно принимает значение «и», т.к. 1 делит любое натуральное число. При любом другом значении х из N оно принимает значение «л», т.е.

у P(x, y)   и, если x = 1,

л, если x  1,