3. Методы моделирования сп

Метод рекурсивной фильтрации

Часто при решении задач имитационного моделирования средств измерений возникает необходимость в формировании процессов с заданным видом корреляционной функции. При этом не обращают внимания на закон распределения процесса. Теоретически эта задача решается методом фильтрации и сводится к определению характеристик формирующего фильтра при известных характеристиках входного и выходного сигналов (рисунок 1).

Поиски более быстродействующих алгоритмов моделирования СП с заданным видом корреляционной функции привели к использованию рекурсивной фильтрации:

Рисунок 1 – Схема рекурсивного фильтра

Для нахождения коэффициентов a_i и b_i (т.е. параметров фильтра) применяются, в основном, три класса методов: методы преобразования аналоговых фильтров в цифровые, прямые методы расчета цифровых фильтров в Z-плоскости и методы, использующие алгоритмы оптимизации. В общем случае невозможно отдать предпочтение какому-либо одному из них. С учетом применимости этих методов в конкретных условиях и многих других факторов, каждый из них может оказаться наиболее подходящим. Однако большинство цифровых фильтров рассчитываются методом билинейного преобразования стандартных аналоговых фильтров. Это обстоятельство связано с тем, что в задачах статистического моделирования необходимо проектировать фильтры, для которых билинейные преобразования аналоговых фильтров уже известны.

Следует отметить два препятствия на пути осуществления намеченного выше подхода к моделированию СП. Первое состоит в том, что далеко не всегда бывают, заданы любые конечномерные распределения СП. Второе – в том, что даже если любые конечномерные распределения заданы, для больших п формирование реализаций случайного вектора становится громоздким и неудобным для использования на электронных цифровых вычислительных машинах.

Эти обстоятельства заставляют использовать для моделирования либо специфические свойства процессов, относящихся к тем или иным классам СП, либо возможность представления данного процесса через более простые случайные элементы.

В рамках курсового проекта для первой модели используется следующий алгоритм:

; ,

где ; ; ;

А для седьмой модели:

,

где ;

;

;

;

;

;

;

;

[6].

4. Вероятностные и числовые характеристики

Для реализации поставленной задачи на ЭВМ необходимо спроектировать дискретную систему, так как невозможно реализовать непрерывную.

Для этого введем понятие дискретной СВ.

Рассмотрим СВ X, возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2, ..., xn,

Пусть задана функция f(x), значение которой в каждой точке x = xi , (i=1,2,…n) равно вероятности того, что величина X примет значение xi

f(x_i) = f(X = x_i)

Такая СВ X называется дискретной (прерывной). Функция F(х) называется законом распределения вероятностей СВ. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... .Так как в каждом из испытаний СВ X, принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то

f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)+… = 1

В рамках поставленной задачи дискретизация осуществляется по времени.

Рисунок 2 – Дискретизация по времени

Рассмотрим основные числовые характеристики СП.

Число x₁f₁ +x₂f₂ + ... x_nf_n называется математическим ожиданием (МО) дискретной СВ X, имеющей распределение f(X = х_i) = f_i (i = 1,2,..., n), и обозначается символами MX. Таким образом, по определению,

Основные свойства МО:

МО константы равно этой константе: M(c) =c ;

МО – линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух СВ x, h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );

МО произведения двух независимых СВ равно произведению их МО: M(x h ) = M(x )M(h ).

МО квадрата отклонения СВ X от её математического ожидания называется дисперсией СВ X и обозначается символом DX.

Таким образом, по определению,

DX = M [(Х - MX)² ] или

Основные свойства дисперсии:

дисперсия любой СВ неотрицательна: Dx > 0;

дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

для произвольной константы D(cx ) = c2D(x);

дисперсия суммы двух независимых СВ равна сумме их дисперсий: D(x ± h) = D(x) + D (h).

МО и дисперсия являются частными случаями следующих более общих понятий - моментов СВ.

Пусть k - натуральное число. МО k-ой степени СВ X называется начальным моментом порядка k величины X и обычно обозначается через α_k.

Т.о., по определению, α_к = M(X^k ). В частности, α_k = MX.

Для дискретной СВ начальный момент α_k выражается суммой:

МО СВ |x — MX|^k, где k - натуральное число, называется абсолютным центральным моментом k -го порядка СВ X и обычно обозначается через μ_k. Таким образом, по определению:

μ_k = M(|Х-МХ| ^k).

Выше было рассмотрено определение корреляционной функции для двух аргументов (см пункт 1.1.2):

К_х(t₁,t₂) = M [Ẋ (t₁) Ẋ (t₂)].

Его можно привести к функции одного аргумента, взяв некоторый фиксированный интервал между сечениями. Тогда получим:

K_x(τ) = M[Ẋ (t) Ẋ (t + τ)].