28. Тотожні перетворення виразів. Тотожності

«Візьмемо два вирази зі змінними 5(х+2) і 5х+10. Область визначення даних виразів – множина R дійсних чисел. Зрівняємо значення числових виразів, які отримаємо при заміні змінної х її числовим значенням із R. Бачимо, що при значеннях х,рівних 0, -2, -4 відповідні значення даних виразів рівні.

Х 5(х+2) 5х+10

0 10 10

-2 0 0

-1 -10 -10

Можна показати в загальному вигляді, що відповідні значення даних виразів будуть рівними при любих значеннях х із множини R. Дійсно, вираз 5х+10 можна отримати розкривши дужки у виразі 5(х+2) (розподільний закон множення відносно додавання).

Кажуть що вирази 5(х+2) і 5х+10 тотожно рівні на множині дійсних чисел.

Два вирази називають тотожно рівними, якщо при любих значеннях змінних із обласні визначення виразів їх відповідні значення рівні.

Рівність, вірну при любих значеннях змінної називають тотожністю. Тотожностями вважають і правильні числові рівності. »

«Два вирази Ах і Вх з непорожніми областями визначення називають тотожно рівними, якщо їхні області визначення збігаються і для будь-якого числа а, що належить спільній області визначення розглядуваних виразів, значення останніх при х = а рівні між собою.

Наприклад, вирази х+12 і х2+2х+1 тотожно рівні, а вирази х5 і х2 5х не є тотожно рівними.

Два вирази Ах і Вх, сполучені знаком = дорівнює, називають рівністю і пишуть Ах=Вх.

Якщо вирази Ах і Вх тотожно рівні, то це записують як рівність Ах=Вх, яку називають тотожністю.

Наприклад, рівність х+12=х2+2х+1 є тотожністю. Зрозуміло, що тотожністю є й будь-яка істинна числова рівність.

Іноді при розгляді питань тотожної рівності двох виразів виникає необхідність обмежувати області визначення цих виразів.

Два вирази Ах і Вх з непорожніми областями визначення називаються тотожно рівними на множині М якщо множина М є непорожньою підмножиною областей визначення цих виразів і для будь-якого а I М значення розглядуваних виразів при х = а однакові.

Якщо вирази Ах і Вх є тотожно рівними на множині М, то записують: Ах=Вх при х I М; цю рівність називають тотожністю на множині.

Вирази х5 і х2 5х тотожно рівні на множині M=R{0}

Запис х5 = х2 5х при х I M=R{0} є тотожністю на множині.

На основі властивостей операцій над дійсними числами та відомих тотожностей на практиці встановлюють тотожність виразів, розуміючи тотожні перетворення даного виразу як послідовний перехід від одного виразу до іншого, що тотожно дорівнює йому. »

29. Числові рівності і нерівності

Означення. Два числові вирази А і В, сполучені знаком = дорівнює називають числовою рівністю і позначають А=В.

Наприклад. 12*3+1=29+8; 3:7-8+2=2-1. Числова рівність може бути істинною і хибною. Якщо зєднати знаком рівності вирази 3+2 і 7-3, то отримаємо числову рівність 3+2=7-3, яка є хибною.

Числова рівність А=В називається істинною тоді, коли А і В мають числові значення s А і s В та s А = s В.

(Числова рівність називається істинною, якщо значення числових виразів розташованих у лівій частині і правій частині рівності співпадають.)

Означення. Нехай а і b – два числових вирази. Зєднаємо їх знаком , отримаємо речення а b, (а b), яке називають числовою нерівністю.

Наприклад. 2+3?593+3?8.

Означення. Нехай а, вIR. Кажуть, що число а менше від числа в, або число в більше ніж число а, і записують відповідно ва, а s В.