26. Числові вирази
Записи, утворені із чисел, знаків дій і дужок називаються числовими виразами. Наприклад: 3+7, 24:8, 3*2-4, (25+3)*2-17. Кожне дійсне число також являється числовим виразом. Такі вирази називаються елементарними. Якщо А і В два числові вирази, то А + В, А — В, А *В, А : В — також є числовими виразами. Якщо в числовому виразі А виконати, якщо це можливо, всі зазначені операції, то дістанемо число, яке називається значенням виразу А і позначається А. (Число отримане в результаті послідовного виконання дій указаних у виразі, назиається значенням числового виразу. Так значення числового виразу 3*2-4 рівне 2.).
Для спрощення записів числових виразів домовились:
елементарні вирази небрати в дужки наприклад, пишуть так: 125+48 або 78:15
не застосовувати дужки, якщо кілька елементарних виразів додаються або віднімаються, причому ці операції виконуються в порядку зліва направо наприклад, 148+252-119
не застосовувати дужок, якщо кілька елементарних виразів множаться або діляться, причому ці операції виконуються в порядку зліва направо наприклад, 58:47-183
4 при відсутності дужок спочатку виконувати операції множення і ділення, а потім додавання і віднімання.
Порядок операцій при обчисленні значень числових виразів такий:
1. Якщо числовий вираз не містить дужок, то треба поділити його на частини, відокремлені одна від однієї знаками додавання й віднімання, та обчислити значення кожної такої частини, виконуючи множення й ділення в порядку зліва направо; після цього, замінивши кожну частину її значенням, знайти значення виразу, виконуючи операції додавання й віднімання в порядку зліва направо.
2. Якщо числовий вираз містить дужки, то треба взяти частини виразу, що містяться між лівою й правою дужками і не містять інших дужок, знайти їх значення за правилом 1 і замінити кожну таку частину її значенням, опустивши дужки, які її охоплюють. Якщо після цього дістанемо вираз без дужок, то обчислити його значення за правилом 1. У противному разі знову застосувати правило 2.
Приклад. А — (44:2-12-38*2-4*5)+22:3.
Спочатку знаходимо: 44:2-12=22-12=10 і 38*2-4*5=76-20=56.
Замінивши 44:2-12 і 38*2-4*5 їхніми значеннями, дістанемо 10*56+22:3=560+22:3=582:3=194. Отже, А = 194.
Але не будь-який числовий вираз має значення. Так, вираз В = 125: 2?3 -6 числового значення не має, оскільки ділення на нуль не можливе.
27. Вирази із змінними
Розглянемо запис 2а+3. Він утворений із знаків алфавіту математичної мови: цифр 2 і 3, знаків дій додавання + і букви а. Якщо замість букви а підставити числа, то одержимо різні числові вирази:
Якщо а = 3, то 2*3+3
Якщо а = 7, то 2*7+3
Якщо а = — 4, то 2*(-4)+3.
В записі 2а+3 буква а називається змінною, а сам запис 2а+3 — вираз із змінною.
Змінну можна
позначити будь-якою буквою латинського
алфавіту. В
початковій школі для позначення змінної,
крім букв, використовують також знак
.
Наприклад, пишуть 2*
+З.
Таким чином,
змінна — це
знак (символ),
який можна замінити числами. Числа, які
підставляють у вираз замість змінної,
називаються значеннями
змінної, а
множина таких чисел —
областю визначення даного виразу.
Замість змінної у вираз можна підставляти тільки такі її значення, при яких одержимо числовий вираз, який має зміст. Вираз із змінною позначається Ах. Читається А від х.
Приклад 1. Ах =3-4х. Змінна х може приймати будь-яке дійсне значення. Область визначення — R множина всіх дійсних чисел.
Приклад 2. Ах= 4 х-3. При х=3 числовий вираз не має змісту. Область визначення цього виразу є множина — , 3U3, + .
В математиці розглядають вирази з однією, двома і т. д. змінними. Ах, у = Зх+7у, Bx,y,z = 6x-2y-7z.
В початкових класах учні спочатку знайомляться з виразами 2 + 3, 7 — 4, називаючи їх сумою і різницею. Після ознайомленням з діями множення і ділення розглядають вирази 5•9, 14:2. Учні знаходять значення числових виразів, іноді записують розвязування текстової задачі у вигляді числового виразу, складають за даним виразом задачу. Робота з буквенними виразами зводиться до підстановки замість букв їх значень, та обчисленню значень числового виразу, який одержали.