18.. Алгоритм переходу від десяткової системи числення до іншої позиційної системи з довільною основою q

Якщо дане число менше від основи системи числення, до якої треба перейти, то його так і записують. Наприклад у вісімковій системі числення числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 записують так само, як і в десятковій, — це однозначні числа. Число 9 записують вже так 118 , тобто одна вісімка і одна одиниця; 10 записують як 128. При великих числах усно важко виконати такий перехід. Використовують таке правило.

Правило. Щоб натуральне число, записане в десятковій системі, подати в позиційній системі при основі q, треба поділити це число на основу q; частку знову поділити на q і т. д. Одержані при цьому послідовні остачі будуть цифрами цього числа, записаними при основі q: перша остача – цифрою одиниць, друга остача – цифрою одиниць другого розряду q, третя остача – цифрою одиниць третього розряду q2 і т. д., остання остача – цифрою найвищого в цьому числі розряду.

19. Перехід від недесяткової системи числення до десяткової

1-й спосіб. Використовуємо основну формулу запису числа. Наприклад, запишемо число 364127 в десятковій системі:

364127 = 3 ? 74 + 6 ? 73 + 4 ? 72 + 1 ? 7 + 2 = 7203 + 2058 + 196 + 7 + 2 = 9466.

Алгоритм. Для того, щоб будь-яке число aq, де q ? 10, записати в десятковій системі числення, досить зобразити його у вигляді суми розрядних одиниць, усно виразити всі цифри і основу q у десятковій системі і виконати обчислення.

2-й спосіб. Щоб записати число аq в десятковій системі, треба одиниці вищого розряду помножити на основу системи, додати одиниці наступного розряду, одержаний результат помножити на основу системи і т. д., аж поки не додамо одиниці останнього розряду. Розв’яжемо попередній приклад цим способом.

364127

7

21+6=27

7

189+4=193

7

1351+1=1352

7

9464+2 =9466

Отже, 364127 = 9466

20. Перехід від однієї недесяткової системи числення

до іншої недесяткової системи числення Для того, щоб перейти від однієї не десяткової системи числення до іншої, треба дане число аq записати в десятковій системі, а потім перевести його з десяткової системи в систему з основою p. Наприклад, число 364127 записати в системі числення з основою 5. Для цього треба перетворити це число в десяткову систему числення: 364127 = 9466 з попереднього прикладу, а потім 9466 записати в п’ятірковій системі числення:

9466 = 3003315. Таким чином, 364127=3003315.

21,Алгоритми додавання і віднімання, множення і ділення чисел

в недесяткових системах числення

Дії над числами в позиційній системі числення з основою р ? 10 виконуються за тими самими правилами, що й у десятковій системі числення. Для виконання додавання треба вміти додавати одноцифрові числа. Для цього слід складати таблиці додавання одноцифрових чисел. Таблиця додавання при р =5. + 1 2 3 4 1 2 3 4 10 2 3 4 10 11 3 4 10 11 12 4 10 11 12 13 Обчислимо суму 4342135+23435. Запишемо доданки один під одним: 4342135 +

23435 4421115 Можна і не користуватися таблицею, а виконувати додавання розрядних одиниць в десятковій системі, а їхню суму для запису відразу переводити у відповідну систему. В даному разі 3+3=6, але у п’ятірковій системі 6 записується як 11- одна п’ятірка і одна одиниця 6 = 5+1. Віднімання системних чисел виконується аналогічно додаванню. Якщо аb, то а — b = an – bn qn +a n-1 – b n-1q n-1 +…+a1-b1q+a0-b0 Якщо у якійсь із різниць виявиться, що aibi, то беремо одну одиницю наступного вищого розряду і роздроблюємо її в одиниці даного розряду, дістанемо q+ai і виконуємо віднімання: q+ai – bi. Якщо ж виявиться, що в сусідньому вищому розряді немає одиниць, беремо одиницю ще вищого розряду, вона має q одиниць попереднього нижчого розряду, в якому залишимо q-1 з цих одиниць, а одну роздробимо в одиниці потрібного нам ще нижчого сусіднього розряду і т. д. Наприклад: 3430016

-

242136

3143446 Міркуємо так: від одного відняти 3 не можна, але одиниць другого розряду у зменшуваному немає, одиниць третього розряду – теж. Беремо одну одиницю четвертого розряду. Вона має 6 одиниць третього розряду. У цьому розряді залишаємо 5 одиниць, а одну одиницю третього розряду роздроблюємо в одиниці другого розряду. Дістанемо 6 одиниць другого розряду, з них 5 залишимо в цьому розряді, а одну роздробимо в одиниці першого розряду, їх буде 6. Від 6 віднімемо 3 і додаємо 1 або до 6 додаємо 1 і потім віднімаємо 3, тобто: 6-3+1 або 6+1-3 і т. д.

Алгоритм множення цілих невід’ємних чисел в будь-якій системі числення з основою р такий же, як у десятковій системі числення. Як і при додаванні можна міркувати двома способами: множити одноцифрові числа в десятковій системі числення, а для запису кожний добуток переводити в систему числення з основою числення р, або ж скористатися таблицею множення в даній системі числення. Виконаємо множення у п’ятірковій системі числення: 2435 3215 243

+

1041

1334

2001035