16. Ознаки подільності на складені числа.

Теорема. Якщо якесь число ділиться на кожне з двох взаємно простих

чисел, то воно ділиться і на їх добуток.

-На 6 ділиться всі ті й тільки ті натуральні числа, які діляться і на 2, і на 3.

-На 15 діляться всі ті Й тільки ті натуральні числа, які діляться і на 3, і на 5.

-На 21 ділять ся всі ті й тільки ті натуральні числа, які діляться на і на 3, і на 7.

Теорема. Ознака подільності на складені числа. Для того щоб натуральне числоділилось на складене число n = bc, де числа b і c такі, що Д b, c = 1, необхідно і достатньо, щоб воно ділилось на b і на c. Доведення цієї теореми проводиться аналогічне доведенню ознаки подільності на 6. Розглянемо ознаку подільності на 60. Для того щоб число ділилось на 60, необхідно і достатньо, щоб воно ділилось на 4 і на 15. Але, в свою чергу, число ділиться на 15 тоді й тільки тоді, коли воно ділиться на 3 і на 5. Тому ознаку подільності на 60 можна сформулювати так:

Для того, щоб число ділилось на 60, необхідно й достатньо, щоб воно ділилось на 4, на 3 і на 5.

17.Позиційні і непозиційні системи числення

Поняття числа виникло в далекій давнині. Під час лічби люди використовували пальці рук і ніг, палички із зарубками, мотузки з вузликами тощо. Згодом вони стали лічити групами, які складалися з однакового числа елементів. Можливо найдавнішою була лічба парами. Лічба на пальцях обумовила виникнення п’ятіркової, десяткової, двадцяткової та інших систем числення. Щоб не зображувати багато зарубок або рисочок, стали позначати певні групи їх одним знаком. Про це свідчать клинописні тексти стародавніх шумерів і вавілонян, ієрогліфи єгиптян і китайців. Вавілоняни рахували групами по 60 одиниць. Знак Ў означає одиницю і 60. Знак < — десяток. Інші числа зображувались за допомогою цих знаків. Та, число 131 записували як ЎЎ<Ў, що означало 60+60+10+1 або 60?2+11. Вавілонська система рахунку й запису чисел – система числення – була позиційною, значення її символів залежали від їхніх позицій у запису числа. Єгиптяни число 1 зображували ієрогліфом y, 10 — ?, 100 – С. Їхня система числення була непозиційною. Число 113 вони записували так: С ? y y y.

Важливий внесок у науку про число зробили стародавні греки. Вони використовували непозиційну алфавітну систему числення. Перші дев’ять букв алфавіту зображували числа від 1 до 9, наступні дев’ять букв – десятки і останні дев’ять – сотні. Щоб відрізняти числа від слів, над числами проводили риску. Так, число 133 записували ???. Для зображення великих чисел Архімед розробив більш зручну десяткову систему числення. Проте й вона була непозиційною.

Культура Київської Русі була тісно пов’язана з грецькою культурою Візантії. Тому числа також зображувалися буквами. У великому словенському численні використовувалися такі розрядні одиниці, як тьма, легіон, леодр, ворон, колода, що відповідало 106, 1012

.

З усіх стародавніх систем числення найбільш поширеною є римська. Вузловими числами цієї системи є: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M –1000, нуля немає. Усі інші числа записуються за допомогою вузлових. Якщо менше цифра стоїть справа від більшої, то вона додається до неї, при чому вона може повторюватися не більше трьох разів; якщо менша цифра стоїть зліва від більшої, то вона віднімається від неї, причому тут повторення меншої цифри не допускається. Запишемо римськими цифрами такі числа натурального ряду: від 1 до 20: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX; 40 – XL, 90 – XC, 400 – CD, 900 – CM, 1991 – MCMXCI.

Як бачимо, римська система нумерації була непозиційною, проте в ній, як і в давньогрецькій, уже були зачатки позиційного принципу.

Сучасна позиційна десяткова система числення була винайдена в Індії у V- VI ст. через арабів вона поширилася в IX cт. в Середню Азію, а пізніше – і в Західну Європу. Особливу роль у цьому відіграла книга узбецького вченого аль — Хорезмі “Трактат з арифметики”. Важливим досягненням індійської математики було введення нуля для позначення відсутності одиниць розряду в числі. Після цього десяткова система стала повністю оформленою. Видатний французький математик П. Лаплас писав, що думка виражати всі числа дев’ятьма знаками, надаючи їм, крім значення за формою, ще й значення за місцем, настільки проста, що саме через цю простоту важко зрозуміти, наскільки вона чудова; як не легко було прийти до цього методу, ми бачимо на прикладі великих геніїв грецької вченості Архімеда і Аполлонія, від яких ця думка залишилася прихованою.

Запровадження десяткової системи числення на Русі було зупинено монгольським ігом. Тільки у XVIII ст. індійська система числення витіснила слов’янську нумерацію. Важливу роль у цьому відіграла “Арифметика” М. Магницького 1703. Поступово позиційна десяткова система числення стала надбанням усіх народів світу.

2. Запис і читання чисел в інших недесяткових системах числення Застосовують також інші системи числення. В астрономії з давніх-давніх застосовується шістдесяткова система числення. Основою цієї системи є число 60. Так 60 сек = 1хв, 60 хв= 1 год, 60=1, 60=1°. Взагалі, основою системи числення може бути будь-яке натуральне число р?2. Для запису числа в такій системі числення використовується р символів: 0, 1, 2, …, р-1. Будь-яке натуральне число а можна зобразити в довільній позиційній системі числення з основою q. Записом цілого невід’ємного числа х в q -тій системі числення називається його подання у вигляді: х = qn?10n + qn-1?10 n-1 + …+ q2?102 + q1.10 + q0,

х = qn q n-1 … q2 q1 q0.

Числа 1, q, q 2, q 3, …, q n називаються розрядними числами. Наприклад, х=2•33+0•32+1•3+1=20113 є записом числа 58 у системі числення з основою q =3. Його можна читати так: два, нуль, один, один у трійковій системі числення. Найменше число знаків для зображення чисел використовує двійкова система числення: 0 і 1. Так у двійковій системі числення число 13 зображується так: 11012. Порівняння чисел, записаних в системі числення з основою q, виконується так само, як і в десятковій системі числення: порівнюються цифри, починаючи із старших розрядів. Порівняємо, наприклад, числа, записані в системі числення з основою q = 13: 21211113= 2 • 133 + 12 • 132 + 11 • 13 + 1 = 666610. 21112113= 2 • 133 + 11 • 132 + 12 • 13 + 1 = 641010. Як бачимо, у записаних числах, перша цифра одна й та сама, а друга у першому числі більша, ніж у другому, тому перше число більше від другого. Цей факт очевидний при записі натуральних чисел у десятковій системі числення.