30. Основні властивості числових рівностей

1. Рефлексивності. аа=а, аIR.

2. Симетричності. а в а=в ? в=а, а, в IR.

3. Транзитивності.а в с а=в U в=с ? а=с, а, в, с IR.

Відношення = дорівнює на множині R є відношенням еквівалентності. Розглянемо це деякі властивості відношення = дорівнює на множині R.

1. Монотонність додавання: а в с а=в ? а+с=в+с, а, в, с IR.

2. Правило скорочення для додавання: а в с а+с=в+с ? а=в, а, в, сIR.

3. Монотонність множення: а в с а=в ? ас=вс, а, в, с IR.

4. Правило скорочення множення: а в с ас=вс ?а=в, а, в, с IR. с ? 0.

З книжкі «Деякі властивості істинних числових рівностей:

1. Якщо до обох частин істинної числової рівності а=в додати один і той самий числовий вираз с, який має значення , то отримаємо істинну числову рівність a=b=>a+b=b+c

2. Якщо обидві частини істинної числової рівності a=b помножити на один і той самий числовий вираз с, то отримаємо таку ж істинну числову рівність ac=bc

a=b=>ac=bc»

31Нерівність [inequality] - співвідношення між числами (або будь-якими математичними виразами, що можуть приймати чисельне значення), яке вказує, яке з них більше або менше іншого.

 • Якщо a < b, то b > а.  • Якщо a < b, b < c, то a < c. Тобто, якщо перше число менше від другого числa, a друге число менше від третього числa, то перше число менше від третього числa.  • Якщо до обох чaстин прaвильної нерівності додaти одне й те сaме число, то одержимо прaвильну нерівність.  • Якщо обидві чaстини прaвильної нерівності помножити нa одне й те сaме додaтне число, то одержимо прaвильну нерівність.  • Якщо обидві чaстини прaвильної нерівності помножити нa одне й те сaме від’ємне число і при цьому змінити знaк нерівності нa протилежний, то одержимо прaвильну нерівність.  • Якщо одне з додaтних чисел більше зa друге, то квaдрaт більшого числa більший від квaдрaта меншого числa. Якщо a > b > 0, то a2 > b2.  • Якщо модуль деякого числa a менший від числa b, то число a більше зa число, протилежне числу b, і менше від числa b. Якщо |a| < b, то –b < a < b.  • Якщо модуль деякого числa a більше зa число b, то число a більше зa число b і менше від числa, протилежного числу b. Якщо |a| > b, то a > b aбо a < –b.  Нерівності з однaковими знaкaми можнa почленно додaвaти. Якщо a< b і c < d, то a + c < b + d.  Нерівності з однaковими знaкaми, лівa і прaвa чaстини яких є додaтними числaми, можнa почленно перемножaти. Якщо a < b і c < d, то ac < bd.

32Лінійне рівняння з однією змінною - рівняння виду ax = b, де a і b – деякі числа, x – змінна. Розв’язки рівняння ax = b:

    Приклади: 1)  3x =15 , x =15/3, х=5. 2)  0x = 0,  x – будь-яке число ; 3) 0x =  10, рівняння розв’язків не має. Завдання: Розв'язати рівняння:

  .

Рівняння — аналітичний запис задачі знаходження аргументів, при яких дві задані функції рівні між собою.

,

де   та   - деякі задані функції, які називаються лівою та правою частинами рівняння, x - елемент множини, на якій визначені функції f та g.

Аргументи функцій рівняння називають невідомими (величинами), значення невідомих, при яких рівняння стає рівністю — коренями рівняння. Рівняння може мати один, кілька або нескінченно багато коренів, а може не мати кореня взагалі.

Іноді математична задача накладає обмеження на множину, якій повинні належати розв'язки рівняння, наприклад, діофантові рівняннявимагають тільки цілочисленного розв'язку. Існування та кількість коренів рівняння теж можуть залежати від множини: наприклад, рівняння   не має дійсних розв'язків, однак має комплексні розв'язки.

Нормальна форма запису рівняння має вигляд:

.

До неї можна перейти, перенісши праву частину рівняння наліво. Рівняння в такій формі називається однорідним.

Для того, щоб розв'язати рівняння, треба знайти його розв'язки або довести, що їх не існує

Два рівняння називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають.

Наприклад, рівняння x + 2 = 3 і x - 1 = 0 рівносильні, оскільки вони мають спільний корінь 1 і інших коренів не мають.

Розв`язування будь-якого рівняння, як правило, зводиться до заміни його рівносильним рівнянням.

Основні теореми про рівносильність рівняння

1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число чи вираз із змінною, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Наприклад, рівняння x + 1 = 3 рівносильне рівнянню x = 2, оскільки друге рівняння можна одержати з першого рівняння додаванням до обох частин першого рівняння числа -1 (або перше рівняння можна одержати з другого додаванням до обох частин другого рівняння числа

2. Якщо з однієї частини рівняння перенести в другу частину доданок з протилежним знаком, то дістанемо рівняння, рівносильне даному рівнянню.  

Наприклад, рівняння x - 3 = 7 рівносильне рівнянню x = 7 + 3, тобто рівнянню x = 10.

3. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, що не дорівнює нулю, чи на вираз із змінною, який не перетворюється на нуль за жодного значення змінної і не втрачає змісту на множині допустимих значень змінної для даного рівняння, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Наприклад, рівняння 5x = 20 рівносильне рівнянню 5x : 5 = 20 : 5, тобто рівнянню x = 4;  рівняння – ½ х= 5, рівносильне рівнянню (-1/2 х) : (-2) = 5 : (-2) , тобто рівнянню x = -10.

33Якщо число а менше або більше від числа b, то записують відповідно   або  . Наприклад,  , . Число а вважається більшим від b, якщо різниця   – число додатне; число а менше від b, якщо різниця   – число від’ємне.

Нерівністю з однією змінною називається нерівність, що містить одну незалежну змінну. Розв’язком нерівності називається будь-яке значення змінної, при якому початкова нерівність зі змінною обертається у правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність зі змінною – значить знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає. Дві нерівності називаються рівносильними (еквівалентними), якщо розв’язки цих нерівностей збігаються; зокрема, нерівності рівносильні, якщо вони не мають розв’язків.

Основні теореми про рівносильні нерівності.

1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яке число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

3. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на додатне число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій; якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на від’ємне число, то рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту.

34.Фу́нкція (відображення, трансформація, оператор) в математиці — це правило, яке кожному елементу з першої множини (області визначення) ставить у відповідність один і тільки один елемент з другої множини. Часто цю другу множину називають цільовою множиною чи образом функції чи відображення.

Відображення f, яке зіставляє кожному елементу множини A єдиний елемент множини B позначається як f:A→B (тобто f відображує A в B).

X, множина вхідних значень, також називається областю визначення f, а Y, множина усіх можливих результатів, інколи називається областю значень, але більш коректно називати областю значень множину усіх тих елементів Y, для яких існують відповідні елементи з X. Тому в загальному випадку область значень є лише підмножиною Y.

Тотожною функцією (тотожним відображенням) називають функцію, область значень і визначення якої збігаються.

35. В математики числова функція - це функція, області визначення і значень якої є підмножинами числових множин - як правило, безлічі дійсних чисел   або безлічі комплексних чисел   .