1 .Десяткова система числення-це набір 10 цифр 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,які використовуються для запису будь-якого числа.

Любе число у десятковій системі числення можна записати таким числом * * ……… = +…….

–цифри що вказують на кількість одиниць відповідного розряду.Будь-яке багатоцифрове число залежне від кількості цифр містить відповідні класи,кожен з яких складається з трьох розрядів-одиниці десятки сотні.

232431217

232-клас мільйонів,431-клас тисяч,217-клас одиниць.

Десяткова система інакше назив.позиційна,бо значення цифри змінюється від позиції яку вона займає в записі числа.

2. 324+251=(300+20+4)+(200+50+1)=(300+200)+(20+50)+(4+1)=500+70+5=575

ЗУН: 1.Розклад на суму розрядних доданків.

2.Порозрядне додавання.

3.запис числа в десятковій системі числення.

При письмовому додаванні,додавання починається з одиниць нижнього розряду,навідміну від усного додавання.(324+719)

1.Підписуємо доданок під доданком.

2.Додаємо з одиниць нижчого розряду.

А)при відсутності переходу через розряд,результат записуємо під одиницями певного розряду і переходимо до додавання одиниць сусіднього розряду.

Б)При здійсненні переходу через розряд,отриманий результат записуємо у вигляді 10* ,де -це кількість одиниць,яку ми записуємо під відповідним розрядом,а 10-це одиниця сусідьнього розряду.яку ми позначаємо крапочкою та переходимо до додавання одиниць сусіднього розряду.

423+316=[запис числа в десятковій системі числення]=(4* +(3* [переставний(комутативний)та сполучний(асоціативний)закон додавання]=(4* =[розподільний(дистрибутивний) закон множення відносно додавання]=(4+3)* [за означенням суми]=7*

=[запис числа в десятковій системі числення]=739.

3.579-324=(5*

(в стовпчик 579-324=255,пояснення)1.підписуємо від’ємник під зменшуваним так щоб одиниці відповідних розрядів знаходились одне під одним.

2.Починаємо з одиниць нижчого розряду.

А)якщо кількість одиниць зменшуваного більша за кількість одиниць від’Ємника то отриманий результат підписуємо під одиницями та переходимо до одиниць сусіднього розряду.

Б)якщо кількість одиниць зменшуваного менша за кількість одиниць від’ємника то позначаємо 1 сусідньго розряда,розбиваємо її на одиниці даного доданку до одиниць зменшуваного і виконуємо віднімання.

3.переходимо до віднімання одиниць сусіднього розряду підписавши результат під одиницями відповідного розряду.

473-235=[запис числа в десятковій системі числення]=(4* )-(2* +3*10+5)=[переставний та сполучний закони віднімання]=(4* =[розподільний закон множення відносно віднімання]=(4* )+(6*10-3*10)+(10+3-5)=(4-2)* [за означенням різниці маємо]=2* =[запис числа в десятковій системі числення]=238

4.253*3=(200+50+3)*3=200*3+50*3+3*3=600+150+9=(600+100)+50+9=700+50+9=759

1)розклад на суму розрядних доданків.

2)властивість множення суми на число.

3)множення круглих чисел на одноцифрове число.

4)табличне множення.

5)співвідношення між одиницями сусідніх розрядів.

6)сполучний закон додавання.

7)Порозрядне додавання.

8)розрядний склад числа.

253*3=[запис числа в десятковій системі числення]=(2* [розподільний закон множення відносно додавання]=(2* )*3+(5*10)*3+3*3=[комутативний та асоціативний закони множення]=(2*3)* +(5*3)*10+3*3=[табличне множення]=6* [запис числа в десятковій системі числення]=6* [дистрибутивний закон]=6* =(6+1)* [за означенням суми маємо]=7* [запис числа в десятковій системі числення]=759.

123*26(в стовпчик)

• Підписуємо множник під множником.

• Множимо одиниці 2 множника на одиниці першого.

А)якщо результат не перевищує 10,то підписуємо його під даними одиницями.

Б)при переході через роздяд результат представляємо у вигляді 10+ ,записуємо під одиницями відповідного розряду,а перший десяток помічаємо як одиницю сусіднього розряду.

• Кількі десятків 2 множника множимо на одиниці першого множника

• Другий неповний добуток-це кількість десятків,тому зміщуємо запис на 1 клітинку вліво.

• Знаходимо суму неповних добутків.

5. Ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.

Ділення чисел — операція, обернена до операції множення. Вона полягає у знаходженні за відомими добутком двох множників і одним із множників другого невідомого множника. Тому при діленні одноцифрових і двоцифрових чисел на одноцифрове використовується таблиця множення одноцифрових чисел. При цьому можуть бути такі два випадки:

1 за таблицею множення знаходять повну частку, як, наприклад, при діленні числа 63 на 9

2 за таблицею множення знаходять неповну частку і обчислюють остачу, як у випадку ділення числа 65 на 9:

65 = 9 · 7 + 2, або 65 : 9 = 7 ост. 2. Отже, взагалі процес ділення цілого невідємного числа а на натуральне число b є дія ділення з остачею, яка полягає у знаходженні таких цілих невідємних чисел q і r, що a = bq + r, де 0 ? r b. Оскільки bq ? а b q + 1, то процес ділення числа а на число b полягає спочатку у знаходженні такого цілого числа q, яке б задовольняло цю нерівність. Тоді остача r = а — bq. Наприклад, для виконання ділення 637 на 25 треба знайти такі цілі невідємні числа q і r, щоб 637 = 25q + r. Подвійна нерівність 25q ? 637 25 q + 1 дає змогу встановити число цифр у неповній частці q. Справді, оскільки 25 · 10 637 25 · 100, то частка q — двоцифрове число. Для знаходження цифри її десятків помножимо послідовно дільник 25 на 10, 20, … Оскільки 25 · 20 637 25 · З0, то цифра десятків неповної частки дорівнює 2, а сама частка 20 q З0, тобто q = 20 + q1, де q1 — число одиниць. Через те що 25 · 20 + q1 ?

637 25 · 20 +q1 + 1, маємо 500 + 25q1 ?

637 500 + 25 q1 + 1, або 25q1 ?

137 25 g1 + 1.

Число q1 — одноцифрове. Його можна знайти, послідовно помножаючи 25 на 1, 2, 3, … Дістанемо: 25 · 5 = 125, а 25 · 6 = 150. Тому число одиниць частки дорівнює 5. Отже, неповна частка q= 25, а остача r = 637 – 625 = 12 і 637 = 25 · 25 + 12.

Викладені міркування лежать в основі ділення «кутом»

637 25

50 25

137

125

12

Загальний алгоритм ділення цілого невідємного числа а на натуральне число b такий:

якщо а = b, то частка q = 1, остача r = 0

якщо а b і число розрядів у чисел а і b однакове, то, помножаючи b послідовно на числа 1,2, …, 9, знаходять частку q від ділення числа а на число b і остачу r = а – bq

якщо а b і число розрядів у числі а більше, ніж у числі b, то частку і остачу шукають так: у числі а зліва відокремлюють стільки розрядів, скільки їх має і число b чи на один розряд більше, а число с1, ними утворене, дорівнювало б чи було б більше від числа b, далі підбирають серед чисел 1, 2, …, 9 такий множник q1, що bq1? с1, число bq1 підписують під числом с1 і віднімають. Дістають r1= с1 — bq1. Це число записують під числом bq1, потім справа до r1 приписують цифри першого з невикористаних розрядів діленого а і порівнюють здобуте число з числом b; якщо воно не менше b, то повторюють вище розглянутий процес, якщо ж воно менше b, то приписують до нього ще стільки розрядів, щоб воно було не менше числа b, і знову застосовують розглянутий вище процес.