5.2. Определение объема выборки для оценки доли признака в генеральной совокупности

Напомним, что ошибка выборочного исследования определяется по формуле:

При оценке доли признака величину σ следует заменить на величину . Таким образом, формула для ошибки выборочного исследования принимает следующий вид:

. (11)

Выражая п через остальные величины, получаем следующую формулу:

(12)

Таким образом, для определения объема выборки необходимо знать три параметра:

доверительный уровень, по которому определяется величина Z;

допустимую ошибку выборочного исследования ε;

истинную долю успехов р.

На практике вычислить эти величины затруднительно. Если задан доверительный уровень, то можно вычислить критическое значение стандартизованного нормального распределения Z. Ошибка выборочного исследования ε определяет точность, с которой оценивается доля успехов в генеральной совокупности. Третий параметр — доля успехов в генеральной совокупности р — это именно тот параметр, который нам необходимо оценить. Итак, как оценить диапазон изменения величины p по его выборочным значениям?

Существуют два способа. Во-первых, во многих ситуациях для оценки величины р можно использовать результаты предыдущих исследований. Во-вторых, если данные о предыдущих исследованиях недоступны, можно попытаться оценить параметр р так, чтобы исключить недооценку объема выборки. Обратите внимание на то, что в формуле (7.5) величина р(1-р) стоит в числителе.

Следовательно, необходимо найти максимальное значение этой величины. Очевидно, что оно достигается при р = 0,5. Перечислим некоторые значения произведения р(1-р).

Если р = 0,9, то р (1- р) = 0,9  0,1 = 0,09.

Если р = 0,7, то р (1- р) = 0,7  0,3 = 0,21.

Если р = 0,5, то р (1- р) = 0,5  0,5 = 0,25.

Если р = 0,3, то р (1- р) = 0,3  0,7 = 0,21.

Если р = 0,1, то р (1- р) = 0,1  0,9 = 0,09.

Таким образом, если доля признака в генеральной совокупности р заранее неизвестна, для определения объема выборки следует задать р = 0,5. В этом случае объем выборки будет переоценен, что приведет к дополнительным затратам на ее создание.

Пример 2. Вернемся к предыдущему примеру обследования сотрудников крупной фирмы. По ранее проведенным обследования доля женщин была равной р = 0,3. Необходимо установить объем выборки с 95%-м доверительным уровнем и погрешностью, не превышающей величины 0,05.

Решение. По формуле (12) получаем:

Округлим полученный результат до большего целого, учитывая, что необ­ходимо не превышать заданную ошибку, получим п = 323.

Ответ. Чтобы с вероятностью 0,95 и ошибкой ε = 0,05 определить долю женщин во всем кол­лективе фирмы, необходимо обследовать не менее 323 служащих.

Для этого же примера при 95% -м доверительном уровне определите, как изменится объем выборки при следующих условиях:

р =0,1; ε= 0,05; п = 139 ?

р =0,5; ε= 0,05; п = 385 ?

р =0,1; ε= 0,5; п = 2 ?

р =0,5; ε= 0,5; п = 4 ?

Проверьте правильность приведенных ответов и поясните полученные результаты.

Для этих же условий найдите решения для 90%-го доверительного уровня.

Задачи и упражнения к разделу V

Задача 1. Определение объема выборки для оценки доли признака в генеральной совокупности

Редактор крупной газеты желает построить интервал, содержащий долю брака газет с 90%-ным доверительным уровнем. Допустимая ошибка выборочной проверки принята равной ±0,05. Редактору неизвестны результаты предшествующих проверок. Определите необходимый объем выборки.

Решение.

Поскольку никаких данных о предыдущих проверках нет, примем р = 0,50. Кроме того, ε= 0,05, а доверительный уровень равен 90%, т.е. Z = 1,645.

Откуда

.

Таким образом, n = 271. Итак, чтобы построить интервал, содержащий долю брака с 90%-ным доверительным уровнем при допустимой ошибке выборочного исследования, равной ±0,05, выборка должна содержать 271 экземпляр газеты.

Задача 2. Вычислите объем выборки, необходимой для построения интервала, содержащего математическое ожидание генеральной совокупности с 95%-ным доверительным уровнем, если допустимая ошибка выборочного исследования равна ±5, а стандартное отклонение — 15. 35

Задача 3. Вычислите объем выборки, необходимой для построения интервала, содержащего математическое ожидание генеральной совокупности с 99%-ным доверительным уровнем, если допустимая ошибка выборочного исследования равна ±20, а стандартное отклонение — 100.

Задача 4. Вычислите объем выборки, необходимой для построения интервала, содержащего долю признака в генеральной совокупности с 99%-ным доверительным уровнем, если допустимая ошибка выборочного исследования равна ±0,04. 1041

Задача 5. Вычислите объем выборки, необходимой для построения интервала, содержащего долю признака в генеральной совокупности с 99%-ным доверительным уровнем, если допустимая ошибка выборочного исследования равна ±0,04, а предыдущие исследования показали, что приблизительное значение параметра p равно 0,40.