IV. Построение доверительного интервала для доли признака в генеральной совокупности
В управлении качеством часто интересуются категорийными показателями массовой продукции. Например, опросив часть населения района (города, страны), необходимо полученные результаты распространить на всю генеральную совокупность. Подобные статистические процедуры широко используются при проведении экспертного опроса, при анализе сохранности продукции в определенных условиях хранения, при установлении количественных показателей качества для генеральной совокупности в целом.
Понятие доверительного интервала можно распространить на категорийные данные. Это позволяет оценить долю признака в генеральной совокупности р с помощью выборочной доли рn= m /п. Если величины пр и п(1-р) превышают число 5, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным. Следовательно, для оценки доли признака в генеральной совокупности р можно построить интервал, доверительный уровень которого равен (1-α)×100%
, (8)
где рп — выборочная доля признака, равная m/п, т.е. количеству успехов, деленному на объем выборки;
р — доля признака в генеральной совокупности;
Z — критическое значение стандартизованного нормального распределения;
п — объем выборки.
Чтобы продемонстрировать применение этой формулы, рассмотрим задачу о заинтересованности сотрудников крупной фирмы в получении ими компенсации за работу в выходные дни. Опрошено 147 сотрудников, 23 из них предпочитают получить компенсацию в виде отгулов, остальные сотрудники заинтересованы в денежной компенсации. Требуется построить 95%-доверительный интервал, содержащий долю сотрудников фирмы желающих за работу в выходные дни получить компенсацию в виде отгула.
Таким образом, имеем: р147 = 23/147 = 0,156; доверительному уровню 95% соответствует критическое значение Z = 1,96.
Воспользовавшись формулой (8), имеем:
.
=
И окончательно: 0,0977 < р < 0,2152.
Таким образом, вероятность того, что от 9,77% до 21,52% сотрудников фирмы за работу в выходные дни желают получить компенсацию в виде отгулов, равна 95%.
Задачи и упражнения к разделу IV
Задача 1. Оценка доли бракованных экземпляров газеты
Редактор крупной газеты желает оценить среднегодовую долю бракованных экземпляров в тираже. Бракованными считаются экземпляры, содержащие пятна, нарушение нумерации страниц, пропуски и дубликаты страниц. Для этого он создал выборку, состоящую из 200 экземпляров. В этой выборке 35 экземпляров оказались бракованными. Постройте интервал, содержащий долю брака с 90% -м доверительным уровнем.
Решение. Доверительному уровню 90% соответствует критическое значение Z= 1,645.
Р200 = 35/200 = 0,175;
0,1308 р £ 0,2192.
Таким образом, вероятность того, что от 13,08% до 21,92% экземпляров газеты окажутся бракованными, равна 90%.
Задача 2. Вычислите 95%-й доверительный интервал, содержащий долю признака в генеральной совокупности, если п = 200, а m = 50.
0,19 р £ 0,31
Задача 3. Вычислите 99% -й доверительный интервал, содержащий долю признака в генеральной совокупности, если п = 400, а m = 25.