7.3. Формули логіки предикатів. Еквівалентні перетворення формул

Раніше ми вказували, що позначення предикатів є елементарними формулами. Надалі будемо вважати, що елементарні формули позначають змінні предикати. При цьому аргументами предикатів можуть бути як предметні константи, так і предметні змінні й предметні функції, тобто терми; предикат також може бути без аргументів — нульмісним, тобто висловлюванням.

Із елементарних формул, використовуючи логічні операції (зв’язки), а також квантори, можна утворювати складні формули. Одержані таким чином формули в свою чергу можуть визначати висловлювання чи предикати.

Елементарні й складні формули завжди набувають значень Х (“хибність”) чи І (“істина”).

Визначення 7.10. Формулу логіки предикатів називають тавтологією, якщо при підстановці замість предикатних змінних (позначень предикатів) будь-яких конкретних предикатів вона завжди перетворюється на тотожно істинний предикат.

Визначення 7.11. Формулу логіки предикатів називають замкненою, якщо в ній немає вільних входжень предметних змінних.

Приклад 7.8. Наведемо приклади складних формул:

а) формула визначає одномісний предикат;

б) формули і визначають двомісні предикати;

в) формула визначає двомісний предикат; якщо предметні змінні х і у набувають однакових значень, то цей предикат набуває значення І;

г) формула визначає одномісний предикат;

ґ) формула визначає нульмісний предикат — висловлювання.

У формулах порядок операцій визначаємо дужками, а при відсутності дужок враховуюємо пріоритети зв’я́зок і кванторів: найвищий пріоритет має заперечення ( ), потім квантор загальності ( ) і квантор існування ( ), а далі, як і в логіці висловлювань, кон’юнкція ( ), диз’юнкція ( ), імплікація ( ) і найнижчий пріоритет в еквівалентності ( ). Операції одного пріоритету виконуються зліва направо.

Визначення 7.12. Частину формули, на яку поширюється дія квантора, називають областю дії квантора.

Приклад 7.9. У формулі областю дії квантора є частина формули , а областю дії квантора є частина .

Визначення 7.13. Дві формули, визначені на полі М, називають еквівалентними (рівносильними) на полі М, якщо вони набувають однакових значень на всіх інтерпретаціях, заданих на множині М (тобто для всіх визначених на М предикатів і для всіх предметних констант із М).

Визначення 7.14. Дві формули, еквівалентні на будь-яких полях, називають еквівалентними.

Заміна даної формули еквівалентною дає можливість зводити її до простішого чи більш зручного вигляду.

Для формул логіки предикатів відносно логічних операцій заперечення ( ), кон’юнкції ( ), диз’юнкції ( ), імплікації ( ) й еквівалентності ( ) справедливі всі еквівалентності 1-11 алгебри висловлювань.

Приклад 7.10. Закон імплікації , справедливий для логіки висловлювань, у формулах логіки предикатів можна застосувати так:

а) ;

б) ;

в) ;

г) . Крім того, застосувавши закон де Моргана і закон заперечення , одержимо іншу еквівалентність:

.

У логіці предикатів, крім еквівалентностей алгебри висловлювань, використовуються також еквівалентності, пов’язані з кванторами. Розглянемо їх.

1. Нехай формула містить вільну змінну х. Тоді справедливі еквівалентності, які називають перенесенням квантора через заперечення (їх ще називають законами де Моргана для кванторів):

;

.

Першу еквівалентність можна пояснити так: вираз означає, що висловлювання є хибним; останнє твердження еквівалентне висловлюванню “існує елемент х, для якого предикат хибний”, або, що те ж саме, “ існує елемент х, для якого предикат істинний”; отже, вираз еквівалентний виразу . Аналогічно пояснимо другу еквівалентність: вираз означає, що висловлювання є хибним; останнє твердження еквівалентне висловлюванню “для будь-якого елемента х предикат хибний” або “для будь-якого елемента х предикат істинний”. Тобто вираз еквівалентний виразу . Таким чином можна сформулювати правило.

Правило перенесення квантора через заперечення. Знак заперечення можна внести під знак квантора, замінивши квантор двоїстим.

Наслідок. Справедливі такі еквівалентності:

;

.

2. Нехай формула містить вільну змінну х, а формула G не містить змінної х (ні вільної, ні зв’язаної). Тоді справедливі еквівалентності щодо винесення квантора за дужки:

;

;

;

.

3. Нехай формула містить дві вільні змінні х і у. Тоді справедливі еквівалентності щодо перестановки однойменних кванторів (комутативні властивості):

;

,

але різнойменні квантори переставляти не можна:

.

4. Перейменування зв’язаних змінних. Замінюючи зв’язану змінну формули іншою зв’язаною змінною, яка не входить у цю формулу, в кванторі і скрізь в області дії квантора, одержимо формулу, рівнозначну даній:

;

.

5. Нехай формули і містять вільну змінну х. Тоді справедливі дистрибутивні закони для квантора загальності при кон’юнкції і для квантора існування при диз’юнкції:

;

.

Приклад 7.11. Покажемо, що є еквівалентністю. Послідовно застосовуючи закони еквівалентності (їх будемо вказувати в дужках), матимемо:

(перейменування зв’язаних змінних);

(винесення квантора за дужки).

(винесення квантора за дужки).

Відповідно до правила транзитивності (див. п. 6.4) маємо, що:

.

Аналогічно можна показати, що :

(перейменування зв’язаних змінних);

(винесення квантора за дужки);

(винесення квантора за дужки).

Зауважимо, що якщо формули і не мають предметних змінних, які були б зв’язані в одній формулі й вільні в іншій, то в формулах , , , вільні змінні формул і залишаються вільними, а зв’язані — зв’язаними, формули F і мають ті самі вільні й зв’язані змінні. Проте у складній формулі дія квантора може поширюватися не на всю формулу, а лише на її частину, тоді змінна є зв’язаною в одній частині формули і вільною в іншій, тобто змінна є і зв’язаною, і вільною водночас.

Використовуючи апарат еквівалентних перетворень логіки предикатів, можна на основі певних математичних тверджень одержувати протилежні до них твердження і подавати їх не в негативній, а в позитивній формі. Нехай є деяке математичне твердження А. Тоді протилежним до нього буде твердження .

Приклад 7.12. За допомогою формули логіки предикатів визначення обмеженої на множині М функції можна записати так: . Тоді визначення необмеженої на множині М функції матиме вигляд . Для подання одержаної формули без використання заперечень проведемо еквівалентні перетворення, скориставшись лише правилом перенесення квантора через заперечення:

;

;

.

Формула дає не негативне, а позитивне визначення необмеженої функції.

З наведеного прикладу видно, що для побудови протилежного твердження до твердження, заданого формулою логіки предикатів, у якій всі квантори розміщені попереду, треба замінити всі квантори на протилежні і взяти заперечення від предиката, розміщеного під знаками цих кванторів.

Приклад 7.13. Побудуємо твердження, яке заперечує справедливість теореми :

;

;

;

.

Одержана формула еквівалентна формулюванню теореми .