7.2. Операції з предикатами

До предикатів, як і до висловлювань, можна застосовувати логічні операції: заперечення ( ), кон’юнкцію ( ), диз’юнкцію ( ), імплікацію ( ), еквівалентність (~) тощо.

Приклад 7.4. Наведемо приклади застосування логічних операцій до предикатів:

а) якщо до предикатів “ ” і “ ” застосувати операцію диз’юнкції, то одержимо новий предикат “ ” або “ ”;

б) при розв’язуванні системи двох рівнянь ми маємо предикат, який є кон’­юнк­цією двох рівнянь-предикатів; якщо задано систему двох лінійних рівнянь

то рівнянням цієї системи можна поставити у відповідність предикати “ ” і “ ”, а заданій системі — предикат .

При застосуванні логічних операцій до предикатів можна побудувати відповідні множини істинностей. Нехай множинами істинностей предикатів і є множини і . Тоді множиною істинності для предиката буде множина — доповнення множини до множини М визначення предиката ; для предиката — спільна частина множин істинності предикатів і , тобто перетин ; для — об’єднання ; оскільки при кожному фіксованому справедливо, що , то ; оскільки предикат набуває значення І (“істина”) при всіх тих і тільки тих , при яких предикати і одночасно перетворюються в істинні чи хибні висловлювання, то .

Крім операцій логіки висловлювань, до предикатів застосовують дві особливі операції, пов’язані із самою природою предикатів. Нехай задано предикат , який залежить від однієї змінної х із поля М.

Визначення 7.6. Вираз — це висловлювання, істинне тільки в тому випадку, коли предикат істинний для всіх предметних констант із поля М.

Вираз читається: “для будь-якого (для кожного, для всіх) предикат істинний”.

Символ називають квантором загальності.

Визначення 7.7. Вираз — це висловлювання, істинне тільки в тому випадку, коли предикат істинний хоч би для однієї предметної константи із поля М.

Вираз читається: “існує (існує хоч би один, можна вказати) , що предикат істинний”.

Символ називають квантором існування.

У виразах і для спрощення квантори будемо записувати без дужок: і .

Квантори загальності й існування називають двоїстими один до одного.

Як видно з наведених визначень, квантори застосовують не до самих предикатів, а до їхніх предметних змінних².

Про велике значення кванторів загальності й існування в різних розділах математики, а не тільки в логіці предикатів, переконливо й наочно свідчать подані нижче приклади.

Приклад 7.5. Подамо у вигляді формул логіки предикатів:

а) деякі математичні твердження:

“для всіх правильно, що ” — ДОРІВНЮЄ( , ); дане висловлювання істинне;

“існує число , квадратний корінь з якого дорівнює 5” — ДОРІВНЮЄ( , 5), або , або ; дане висловлювання істинне, але висловлювання — хибне;

“квадратне рівняння має розв’язок” — ; це висловлювання істинне на множині Z (а також на множині R), оскільки корені заданого квадратного рівняння , ; це висловлювання істинне й на множині N, але має лише один корінь ;

“на множині цілих чисел Z тригонометричне рівняння має корені” — ; дане висловлювання істинне, але, якщо взяти множину дійсних чисел R, то висловлювання буде хибним, а висловлювання — істинним;

б) твердження щодо рівнянь:

“рівняння є тотожністю” — ;

“два рівняння і еквівалентні” — ;

“система двох рівнянь і несумісна (не має розв’язків)” —

в) деякі визначення з математичного аналізу, наприклад,

визначення границі а послідовності :

(тут використовується двомісний предикат , а є предметною функцією);

визначення границі функції , заданої на множині D, у точці :

(тут використовується тримісний предикат );

визначення неперервності функції , заданої на множині D, у точці :

функція неперервна в точці

(тут );

визначення розривності функції , заданої на множині D, у точці :

функція має розрив у точці

(тут );

визначення неспадної на множині D функції :

функція не спадає на множині D

(тут ).

Висловлювання з кванторами і від предметної змінної х не залежать.

Визначення 7.8. Предметну змінну х, зв’язану квантором виду або називають зв’язаною змінною.

Визначення 7.9. Предметну змінну х, не зв’язану ніяким квантором, називають вільною змінною.

Наявність зв’язаної предметної змінної х означає відсутність функціональної залежності від х виразів і . Таким чином, застосування будь-якого квантора за будь-якою змінною для n-місного предиката зводить цей предикат до -місного за рахунок зв’язування однієї предметної змінної.

Приклад 7.6. Розглянемо приклади предикатів з кванторами:

а) предикати , , , є одномісними предикатами від відповідної вільної змінної (х чи у). Так, — одномісний предикат від вільної змінної , цей предикат істинний для таких елементів , для яких предикат істинний для всіх значень х. Якщо подати множину значень істинності цього предиката за допомогою матриці, то предикат буде істинним для тих значень , для яких стовпчик аргумента містить тільки значення I (“істина”). Предикат істинний для тих елементів , для яких відповідний стовпчик містить принаймні один раз значення . Аналогічні міркування можна навести для одномісних предикатів від вільної змінної х — і . Для ілюстрації сказаного розглянемо предикат , кожна змінна якого набуває значень з множини , а його матриця має вигляд:

матриці вказаних вище одномісних предикатів матимуть вигляд:

б) в одномісному предикаті змінні х і у зв’язані, а змінна z — вільна; предикати , тощо є двомісними предикатами.

Зв’язані змінні використовують не тільки в логіці предикатів, а й в інших розділах математики і не тільки математики. Наприклад, висловлювання “усі абітурієнти складають тести ЗНО” можна подати за допомогою виразу (тут змінна х належить множині абітурієнтів, а предикат “усі х складають тести ЗНО”), у якому змінна х зв’язана; у виразі змінна х зв’язана, оскільки границею (якщо вона існує) є конкретне число; сума перших 100 членів послідовності є теж конкретним числом, тому індекс k — зв’язана змінна; у визначеному інтегралі при заданих межах інтегрування а і b змінна х зв’язана; маса однорідної пластини при заданих межах а і b і густині є величиною постійною (від х не залежить), тому в поданій формулі змінна х — зв’язана.

Приклад 7.7. Подамо деякі математичні твердження із зв’язаною змінною х, використовуючи квантори:

а) математичне твердження “для всіх , вірно, що ” можна подати, наприклад, так: ; або, ввівши позначення виконується_подвійна_нерівність , яке відповідає нестрогій подвійній нерівності , подане твердження запишемо: виконується_подвійна_нерівність ;

б) математичне твердження “існують числа , такі, що ” можна подати, наприклад, так: ; або, ввівши позначення дорівнювати , яке позначає рівність , твердження запишемо: дорівнювати . При цьому немає значення, що таких х існує безліч (нескінченна кількість), оскільки квантор існування означає, що існує принаймні одне (що не виключає існування будь-якої кількості) значення х.