Частина 7. ЛОГІКА ПРЕДИКАТІВ

7.1. Найпростіші визначення й поняття

Усі поняття й теореми логіки висловлювань є основою для ширшої логічної теорії — логіки предикатів. Логіка висловлювань є складовою частиною логіки предикатів. Проте в логіці предикатів, на відміну від логіки висловлювань, розглядають внутрішню структуру простих висловлювань, з яких потім утворюються складні висловлювання. Мова логіки предикатів набагато виразніша, ніж мова логіки висловлювань. У логіці предикатів порівняно з логікою висловлювань введено такі нові поняття, як предикат, квантор, терм. Ми розглядатимемо логіку предикатів першого порядку.

Розглянемо функцію . Ця формула не є висловлюванням, проте якщо змінні і у замінити певними числами, то одержимо висловлювання, наприклад: — істинне висловлювання, — хибне висловлювання. У нашому випадку областю визначення функції є множина , а областю її значень — .

Розглянемо також одиничну функцію Хевісайда¹:

Областю визначення цієї функції є множина , а область значень — це двохелементна дискретна множина .

Визначення 7.1. Предикатом (невизначеним висловлюванням, змінним висловлюванням) називають функцію з чітко фіксованою областю значень , де Х (“хибність”) і І (“істина”) — логічні константи.

Таким чином, предикат задає закон, за яким кожному набору (де , , …, і ) ставиться у відповідність один з двох елементів множини . Областю визначення предиката є певна множина М (скінченна чи нескінченна), як і у випадку будь-якої n-місної функції; проте областю значень предиката завжди є двохелементна множина , тобто предикат є логічною функцією.

Предикати позначатимемо великими буквами латинського алфавіту (наприклад, , ) або словами, які відображають змістові значення заданих предикатів і подаються великими буквами (наприклад, предикат “х — парне число” можна позначити ПАРНЕ(х), ДІЛИТЬСЯ2(х), ДІЛИТЬСЯ(х, 2) або ще якось, предикат “х є старшим братом у” — СТАРШИЙ(х, у), предикат “площа прямокутника дорівнює _{” —} добуток(a, b), “ ” — дорівнюВАТИ(у, ) тощо). Також предикати можна позначати загальноприйнятими в математиці символами: наприклад, предикат “х менше від у” будемо позначати , предикат “х дорівнює у” позначатимемо , предикат “х дорівнює 3” позначатимемо . Позначення предикатів називають елементарними (атомарними) формулами.

Визначення 7.2. Предикат , який має n аргументів , , …, , називають n-місним предикатом, а число n — порядком предиката .

При визначенні n-місного предиката треба вказати множи́­ни , , …, — області визначення незалежних змінних , , …, .

У термінах відношень n-місний предикат є n-арним відношенням (наприклад, при — унарним або властивістю, при — бінарним, при — тернарним тощо).

Приклад 7.1. Наведемо приклади предикатів:

а) предикати з однією змінною (унарні предикати) “х — просте число”, “y — правильний багатокутник”, “при температурі 100°С речовина z перебуває в газоподібному стані” тощо вказують властивості відповідних змінних x, y, z;

б) предикати з кількома змінними “при температурі х речовина у перебуває в газоподібному стані”, “змінна z набуває значень з проміжку , де ”, “ , де ” задають відношення між відповідними змінними, які є аргументами цих предикатів;

в) якщо наведену вище функцію Хевісайда дещо перевизначити, замінивши 0 логічною константою Х, а 1 — логічною константою І:

то одержана функція є одномісним предикатом, на основі цієї функції також можна побудувати двомісні предикати, наприклад, функцію, яка дає можливість встановити, чи мають змінні х і у один знак чи різні знаки, — , де , ; функцію “запізнення” , де , .

У логіці предикатів незалежні змінні , , …, називають предметними змінними, а елементи , , …, множин , , …, — предметними константами (предметами, індивідуальними предметами).

Множину М, яка є множиною наборів довжини n виду називають полем (предметною областю) предиката .

Якщо в предикаті предметним змінним , , …, надати конкретних значень , , …, (тобто замінити їх предметами), то одержимо висловлювання, яке є нульмісним предикатом (так само, як на множині дійсних чисел R значення функції у точці є константою ).

Визначення 7.3. Множиною істинності предиката називають множину всіх наборів значень змінних , на яких предикат набуває значення І (“істина”).

Множину істинності предиката позначимо .

Визначення 7.4. Предикат називають розв’язним, якщо існують такі набори , на яких предикат набуває значення І (“істина”), тобто його множина істинності не порожня ( ).

Якщо предикат набуває значення І (“істина”) на будь-якому наборі значень змінних , то його називають тотожно істинним. Його множина істинності збігається з множиною визначення, тобто .

Якщо предикат набуває значення Х (“хибність”) на будь-якому наборі значень змінних (тобто не набуває значення І на жодному наборі значень змінних), то його називають тотожно хибним. Його множина істинності порожня, тобто .

Приклад 7.2. Розглянемо приклади предикатів і вкажемо пов’язані з ними характеристики:

а) — двомісний предикат, який позначимо, наприклад, (тобто “ ”); x, y — предметні змінні предиката ; множини дійсних чисел і — відповідно області визначення незалежних змінних х і у предиката ; — поле предиката ; якщо , то предикат набуває значення І, а якщо , то набуває значення Х, отже, цей предикат є розв’язним; множиною істинності цього предиката є множина ;

б) — одномісний предикат, який позначимо, наприклад, (тобто “ ”); x — предметна змінна предиката ; множина дійсних чисел  — область визначення змінної х предиката ; — поле предиката ; при будь-якому значенні змінної х предикат набуває значення Х, отже, цей предикат є тотожно хибним; множиною істинності цього предиката є порожня множина ;

в) — нульмісний предикат (він є звичайним висловлюванням), який не має предметних змінних; позначимо цей предикат, наприклад, буквою А (тобто, “ ”); предикат А завжди набуває значення І, отже, даний предикат є тотожно істинним.

У логіці предикатів поряд з поняттями предметної змінної і предметної константи використовують також поняття предметної функції (елементарного функціонального виразу, мезону, функціонального символу) кліні1973-178ст, значення якої належить тій самій області, що і її аргументи. Наприклад, на множині натуральних чисел N такими функціями є , , , , , на множині дійсних R чисел також є функції , , , , тощо, на множині людей є функція “батько людини х”, яку можна позначити батько(х), та ін.

Таким чином, поряд з предметними змінними й предметними константами аргументами предикатів можуть бути й предметні функції.

Приклад 7.3. Наведемо приклади предикатів, у яких усіма аргументами чи тільки частиною їх є предметні функції: ПАРНЕ( ), ДІЛИТЬСЯ2( ), ДІЛИТЬСЯ( , 2), дорівнюВАТИ( , ), дорівнюВАТИ(у, ), СТАРШИЙ(х, батько(у)), СТАРШИЙ(батько(х), батько(у)).

Визначення 7.5. Предметні константи, предметні змінні й предметні функції називають термами.