Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Національний технічний університет України
“Київський політехнічний інститут”
Л. І. Кублій, м. В. Ногін
Вибрані розділи
дискретної математики
Алгебричні структури
Алгебра логіки
Математична логіка
Київ
НТУУ “КПІ”
2011
УДК
ББК
Гриф надано Методичною радою НТУУ “КПІ”
(Протокол № від 2011 р.)
Рецензенти: Летічевський Олександр Адольфович, академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор, Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України
Гладкий Анатолій Васильович, доктор фізико-математичних наук, професор, Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України
Дичка Іван Андрійович, доктор технічних наук, професор Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”
Відповідальний
редактор С.О. Лук’яненко, доктор технічних наук, професор,
Національний технічний університет України
“Київський політехнічний інститут”
ЗМІСТ
Перелік умовних скорочень 5
ВСТУП 7
АЛГЕБРИЧНІ СТРУКТУРИ 8
Частина 1. ОСНОВНІ АЛГЕБРИЧНІ СТРУКТУРИ 8
1.1. Поняття алгебри 8
1.2. Унарні й бінарні операції 9
1.3. Поняття алгебричної структури 13
1.4. Властивості бінарних операцій 13
1.5. Алгебричні структури з однією бінарною операцією 14
1.6. Алгебричні структури з двома бінарними операціями 16
1.7. Додаткові приклади, інтерпретації, властивості 18
1.8. Поняття векторного простору 20
Питання для самоконтролю 21
АЛГЕБРА ЛОГІКИ 23
Частина 2. ФУНКЦІЇ АЛГЕБРИ ЛОГІКИ 23
2.1. Алгебра Буля і алгебра логіки 23
2.2. Логічні функції однієї і двох змінних 27
2.3. Властивості елементарних логічних функцій 29
2.4. Формули в алгебрі логіки 30
2.5. Диз’юнктивні й кон’юктивні нормальні форми алгебри Буля 31
2.6. Двоїсті функції 32
2.7. Досконалі диз’юнктивні й кон’юнктивні нормальні форми 36
Питання для самоконтролю 42
Частина 3. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКІНА 44
3.1. Поняття алгебри Жегалкіна 44
3.2. Властивості операцій алгебри Жегалкіна 45
3.3. Многочлени Жегалкіна 46
Питання для самоконтролю 51
Частина 4. ПОВНОТА І ЗАМКНУТІСТЬ СИСТЕМИ
ЛОГІЧНИХ ФУНКЦІЙ 53
4.1. Поняття повної системи функцій 53
4.2. Замикання множини логічних функцій 54
4.3. Основні замкнуті класи логічних функцій 55
4.4. Критерій Поста повноти системи функцій 57
Питання для самоконтролю 59
Частина 5. МІНІМІЗАЦІЯ ЛОГІЧНИХ ФУНКЦІЙ 60
5.1. Поняття мінімізації 60
5.2. Побудова скорочених ДНФ 62
5. 3. Побудова тупикових ДНФ. Метод імплікантних
таблиць Квайна. Метод Петрика 66
5.4. Мінімізація на основі карт Карно 70
Питання для самоконтролю 74
МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА 75
Частина 6. ЛОГІКА ВИСЛОВЛЮВАНЬ 75
6.1. Загальна характеристика логіки висловлювань 75
6.2. Висловлювання. Формули 76
6.3. Система обчислень 80
6.4. Еквівалентні перетворення формул 82
6.5. Система формального виведення 86
6.6. Система природного виведення 93
6.7. Аксіоматичні системи числення висловлювань 110
Питання для самоконтролю 122
Частина 7. ЛОГІКА ПРЕДИКАТІВ 125
7.1. Найпростіші визначення й поняття 125
7.2. Операції з предикатами 129
7.3. Формули логіки предикатів. Еквівалентні
перетворення формул 134
7.4. Пряма, обернена, протилежна теореми. Необхідна
й достатня умови 139
7.5. Випереджальні нормальні форми 141
7.6. Аксіоми числення предикатів. Формальне виведення 144
Питання для самоконтролю 148
ЗАВДАННЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 150
Розділ “Алгебричні структури” 150
Розділ “Алгебра логіки” 154
Розділ “Математична логіка” 158
Список використаної літератури 164
Предметний покажчик 165