Математична логіка

Математична (формальна) логіка вивчає формальні логічні мови. Предметом її дослідження є схеми завжди істинних висловлювань. Математична логіка поділяється на двозначну класичну й некласичну, до якої входять інтуїціоністська, конструктивна, багатозначна, нескінченнозначна, логіка строгої імплікації, модальна та ін. Основу сучасної математичної логіки становлять логіка висловлювань і теорія предикатів.

Частина 6. ЛОГІКА ВИСЛОВЛЮВАНЬ

6.1. Загальна характеристика логіки висловлювань

Логіка висловлювань є найпростішою частиною математичної логіки. Вона оперує висловлюваннями (твердженнями), які виступають як єдине ціле, не розглядаючи їхнього змісту і не досліджуючи внутрішню структуру висловлювань.

Складні висловлювання утворюються із простих за допомогою логічних зв’я́зок (“і”, “або”, “якщо …, то …”, “тоді і тільки тоді, коли”, “не” тощо). У логіці висловлювань використовують не самі висловлювання, а висловлювальні змінні. Тому тут вивчають не конкретні висловлювання, а висловлювальні функції, які перетворюються на висловлювання, коли всі змінні, які входять до них, замінити висловлюваннями. Істинність чи хибність одержаного складного висловлювання залежить тільки від істинності чи хибності складових висловлювань і не залежить від їхнього змісту.

У логіці висловлювань розв’язують такі дві задачі: формалізацію запису складних висловлювань (подання висловлювань у вигляді формул) і знаходження способу доведення тотожної істинності висловлювань. Друга задача може бути розв’язана за допомогою змістового підходу (використовується апарат алгебри логіки — система обчислень і еквівалентні перетворення) і формального (використовується система формального виведення) підходів. Залежно від використовуваного підходу в логіці висловлювань відповідно виділяють алгебру висловлювань і числення¹ висловлювань (пропозиційне числення) як важливий напрям логіки висловлювань.

Класичне числення висловлювань, яке ми будемо розглядати, характеризується тим, що висловлювання мають лише двозначну інтерпретацію (“істинне”, “хибне”), і в ньому будь-яка тотожно істинна формула алгебри логіки є довідною (тобто для неї існує доведення). Класичне числення висловлювань має досить багато різновидів. Вони відрізняються один від одного набором логічних зв’язок, системами аксіом і правилами виведення. Деякі різновиди класичної логіки висловлювань ґрунтуються лише на частині звичайних логічних зв’язок, система яких має бути повною або навіть надлишково повною. Так, є логіка висловлювань, яка ґрунтується лише на одній логічній зв’язці — штрихові Шеффера і одній аксіомі, є система природного виведення (різновид формальної системи Генцена²), яка має ряд правил виведення, але не має аксіом, та інші логіки висловлювань.

6.2. Висловлювання. Формули

Будь-яке розповідне речення, яке щось стверджує і може інтерпретуватися як істинне або хибне, але не може бути водночас істинним і хибним, є висловлюванням логіки висловлювань.

Визначення 6.1. Простим (елементарним, атомарним) висловлюваням називають довільне просте розповідне речення, яке щось стверджує і може інтерпретуватися як істинне або хибне, але не може бути водночас істинним і хибним.

У логіці висловлювань не розглядаються питальні, спонукальні, окличні й неповні речення, а також розповідні речення, відносно яких неможливо встановити, істинні вони чи хибні.

Визначення 6.2. Складним висловлюванням називають висловлювання, побудоване за певними правилами із простих, яке може інтерпретуватися як істинне або хибне, але не може бути одночасно істинним і хибним.

При побудові складних висловлювань із простих використовують як зв’я́зки сполучники “і”, “або”, “якщо …, то …”, мовну конструкцію “тоді і тільки тоді, коли”, а також заперечну частку “не”. На відміну від складного, просте висловлювання не будується з інших висловлювань.

Приклад 6.1. Висловлювання “Погода погана”, “Екскурсії не буде”, “Я промерзну” є простими висловлюваннями. Висловлювання “Погода погана і екскурсії не буде”, “Погода погана, тому екскурсії не буде”, “Я промерзну тоді і тільки тоді, коли буде погана погода”, “Екскурсії не буде або я промерзну” є складними. Проте речення “Яка сьогодні погода?” (питальне речення), “Яка прекрасна погода!” (окличне речення), “Іди на екскурсію” (спонукальне речення), “Так” (неповне речення) не є висловлюваннями.

Прості висловлювання будемо позначати великими буквами без індексів чи з індексами: А, В, С, …, , , …, тощо. Позначення простих висловлювань називають атомарними формулами (елементарними формулами, пропозиційними змінними). Оскільки прості висловлювання можуть бути істинними (І) чи хибними (Х), то атомарні формули є логічними змінними. Таким чином атомарні формули — це висловлювальні логічні змінні.

Складним висловлюванням у відповідність ставляться складні формули (пропозиційні форми), які будують з атомарних формул з використанням логічних операцій (пропозиційних зв’я́зок). При цьому сполучникам “і”, “або”, “якщо …, то …”, мовній конструкції “тоді і тільки тоді, коли”, а також заперечній частці “не” складних висловлювань відповідають логічні операції кон’юнкція ( ; також позначають ), диз’юнкція ( ), імплікація ( ; також позначають , ), еквівалентність ( ; також позначають , , , ) і заперечення ( ; часом позначають ). Порядок операцій визначають дужками, а при відсутності дужок враховують пріоритети зв’я́зок: найвищий пріоритет має заперечення ( ), потім кон’юнкція ( ), далі диз’юнкція ( ), ще далі імплікація ( ) і найнижчий пріоритет у еквівалентності ( ). Операції одного пріоритету виконуються зліва направо.

Таким чином, складні формули містять операнди, які є логічними змінними і набувають значень “істина” (І) й “хибність” (Х), і логічні операції , , , , , порядок виконання яких задають дужками або визначають відповідно до встановлених пріоритетів.

При застосуванні деяких операцій операнди мають спеціальні назви: для операції кон’юнкції змінні А і В називають кон’юнктивними членами, чи кон’юнктами, для операції диз’юнкції — диз’юнктивними членами, чи диз’юнктами, для операції імплікації операнд А називають засновком (умовою, гіпотезою), а В — висновком (наслідком).

Імплікація відображає зв’язок обов’язкового й очікуваного. За її допомогою можна формально подати поняття умови достатньої (будь-яка умова, з якої випливає, що твердження справедливе) і необхідної (будь-яка умова, без виконання якої дане твердження неправильне). Так, для двох тверджень А і В висловлювання, подане формулою , означає, що “А є достатньою умовою для В”, а “В є необхідною умовою для А”. Твердження “А є необхідною й достатньою умовою для В” еквівалентне подвійній імплікації , яку передають еквівалентністю , тобто: .

Логіку висловлювань можна визначити як алгебру.

Визначення 6.3. Логіка висловлювань — це алгебра , носієм якої є двохелементна множина , операціями — операції заперечення ( ), кон’юнкції ( ), диз’юнкції ( ), імплікації ( ) і еквівалентності (~), а константами — Х (“хибність”) і І (“істина”).

Враховуючи те, що між двоелементними множинами-носіями алгебри логіки і логіки висловлювань, а також їхніми константами 0 і Х, 1 і І можна встановити взаємно однозначну відповідність, а також те, що в логіці висловлювань використовується частина логічних операцій алгебри логіки³, то при вивченні логіки висловлювань як алгебричної системи можна використовувати відповідні результати алгебри логіки.

Символи операцій алгебри висловлювань можна інтерпретувати як відповідні операції алгебри логіки; тоді кожна формула інтерпретується як вираз, який задає якусь функцію алгебри логіки.

Для подання висловлювань звичайної мови за допомогою мови логіки висловлювань, тобто формул, треба для простих висловлювань, які входять у речення, ввести позначення, а відношення між простими висловлюваннями позначити за допомогою відповідних логічних операцій. Що вважати простими висловлюваннями, вирішує людина, яка перекладає висловлювання із звичайної мови на формальну (наприклад, висловлювання “Екскурсії не буде” можна вважати простим, а можна простим вважати висловлювання “Екскурсія буде”, а подане першим висловлювання — його запереченням; також, якщо для якогось складного висловлювання встановлено властивості і досліджувати його більше не треба, то його можна позначити як просте).

Приклад 6.2. Розглянемо речення: “Якщо погода погана, то екскурсії не буде”. Нехай висловлювання “Погода погана”, висловлювання “Екскурсії не буде”. Тоді нашому реченню можна поставити у відповідність формулу . Якщо “Екскурсія буде”, то матимемо формулу .

Приклад 6.3. Нехай дано прості висловлювання: “Погода погана”; “Екскурсії не буде”; “Я промерзну”; “Я нікуди не піду”. Утворимо з них складні висловлювання і подамо їх формально: “Якщо погода погана і я нікуди не піду, то я не промерзну” — ; “Я промерзну, якщо погода погана” — ; “Якщо погода погана, але екскурсію не відмінили або я кудись піду, то я промерзну” — це висловлювання можна зрозуміти двояко і подати однією з формул: або , але, мабуть, другий варіант краще відображає суть початкового висловлювання; “Екскурсія буде чи не буде, я нікуди не піду, якщо погода погана” — це формальне твердження можна спростити (використовуючи результати алгебри логіки: , ) і звести до вигляду ; “Або погода не погана, або я нікуди не піду” — ; “Якщо погода погана, то я нікуди не піду, але якщо погода хороша, то буде екскурсія” — .