Питання для самоконтролю

1. Дайте визначення алгебри Жегалкіна. Вкажіть відмінності алгебри Жегалкіна від алгебри Буля. Як здійснити перехід від формул алгебри Буля до формул алгебри Жегалкіна?

2. Вкажіть властивості операцій алгебри Жегалкіна. Як можна довести їхню справедливість?

3. Дайте визначення многочлена Жегалкіна. Як визначити степінь многочлена Жегалкіна? Сформулюйте і доведіть теорему І.І. Жегалкіна. Поясніть суть методу невизначених коефіцієнтів побудови многочлена Жегалкіна.

4. Який многочлен Жегалкіна називають лінійним, а який — нелінійним? Яка логічна функція є лінійною, а яка — нелінійною? Як можна визначити лінійність логічної функції?

Частина 4. ПОВНОТА І ЗАМКНУТІСТЬ СИСТЕМИ ЛОГІЧНИХ ФУНКЦІЙ

4.1. Поняття повної системи функцій

Нехай , тобто Р — підмножина множини всіх логічних функцій . Підмножину Р також називають системою функцій.

Визначення 4.1. Систему функцій називають повною (функціонально повною), якщо для будь-якої функції існує формула над P.

Подана нижче теорема пов’язує повноту одних систем із повнотою інших систем.

Теорема 4.1. Нехай система функцій із повна, причому кожна функція із виражена формулою над системою . Тоді система функцій Q теж повна.

Приклад 4.1. Прикладами повних систем функцій є:

а) система — множина всіх логічних функцій;

б) система . У доведенні теореми 2.2 було показано, що будь-яку логічну функцію можна подати у вигляді формули через заперечення, диз’юнкцію і кон’юнкцію, тобто була доведена повнота цієї системи функцій;

в) система . Повнота цієї системи функцій випливає з повноти системи і того, що, відповідно до закону де Моргана, виконується рівність ;

г) система . Як і в попередньому випадку, повнота цієї системи випливає з повноти системи і того, що виконується рівність .

ґ) система . Щоб довести повноту цієї системи, відповідно до теореми 4.1, подамо через імплікацію і суму за модулем два функції повної системи . Очевидно, що ; оскільки , то . Оскільки імплікація подається через многочлен Жегалкіна і, крім того, , то , звідки . Отже, функції повної системи ми подали через функції заданої системи . Тому задана система є функціонально повною.

4.2. Замикання множини логічних функцій

Нехай множина логічних функцій .

Визначення 4.2. Замиканням множини К називають множину всіх логічних функцій, які допускають подання у вигляді формул над К. Замикання множини К позначають .

Приклад 4.2. Прикладами замикань множин логічних функцій є:

а) ;

б) якщо , то замиканням є множина всіх лінійних многочленів Жегалкіна виду .

Для замикань справедливі такі властивості.

1. .

2. .

3. Якщо , то .

4. .

Визначення 4.3. Множину логічних функцій К називають замкнутим класом, якщо .

Приклад 4.3. Прикладами замкнутих класів логічних функцій є:

а) множина всіх логічних функцій є замкнутим класом.

б) множина лінійних многочленів Жегалкіна є замкнутим класом, оскільки, підставляючи замість окремих змінних в лінійний многочлен інші лінійні многочлени, одержимо теж лінійний многочлен. Нехай, наприклад, є лінійний многочлен від двох змінних ; у цей многочлен замість змінної підставимо , застосуємо закон асоціативності і врахуємо, що . Тоді одержимо:

,

звідки видно, що лінійність зберігається.

Приклад 4.4. Система логічних функцій не утворює замкнутого класу, оскільки, підставивши в другу функцію системи, наприклад, замість х і у функцію 1, одержимо, що , а .

Можна також сформулювати еквівалентне визначення функціональної повноти системи логічних функцій у термінах замикання.

Визначення 4.1′. Система логічних функцій P повна, якщо .