2.2. Логічні функції однієї і двох змінних

Розглянемо логічні функції однієї змінної. Таких функцій є . Подамо таблично їхні значення:

Табл. 1. Значення логічних функцій однієї змінної

Серед вказаних функцій є дві функції-константи, для яких змінна х — фіктивна і які по суті є нульарними функціями. Це — константа “нуль”, — константа “одиниця”. Для інших двох функцій і , які відповідно називають повторенням аргументу і запереченням аргументу, змінна х — істотна.

Розглянемо логічні функції двох змінних , яких є . Подамо таблично їхні значення:

Табл. 2. Значення логічних функцій двох змінних

Ці функції мають такі позначення й назви:

Функція	Позначення	Назва
	0	константа нуль
	, або	кон’юнкція
		заперечення імплікації
		повтор 1-го аргументу
		заперечення оберненої імплікації
		повтор 2-го аргументу
	або	сума за модулем два (антиеквівалентність)
		диз’юнкція
	або	стрілка Пірса (заперечення диз’юнкції)
	, або	еквівалентність
		заперечення 2-го аргументу
		обернена імплікація (конверсія)
		заперечення 1-го аргументу
		імплікація
	або	штрих Шеффера (заперечення кон’юнкції)
	1	константа одиниця

Табл. 3. Позначення й назви функцій двох змінних

Серед наведених у таблиці функцій двох змінних є функції-константи і , які зовсім не залежать від змінних, а також є функції , , , , які залежать тільки від однієї змінної. Решта функцій істотно залежать від двох змінних.

Логічні функції однієї і двох змінних називають елементарними логічними функціями.

2.3. Властивості елементарних логічних функцій

Властивості булевих функцій аналогічні тотожностям алгебри висловлювань, а також, певною мірою, і властивостям скінченних множин.

Нехай . Тоді для функцій алгебри логіки справедливі такі властивості.

1. Кон’юнкція, диз’юнкція, сума за модулем два, штрих Шеффера, стрілка Пірса — комутативні.

2. Кон’юнкція, диз’юнкція, сума за модулем два — асоціативні.

3. Кон’юнкція і диз’юнкція дистрибутивні одна відносно одної; кон’юнкція дистрибутивна відносно операції додавання за модулем два.

4. Виконуються закони де Моргана:

, .

5. Виконується закон подвійного заперечення:

.

6. Виконуються закони поглинання:

; .

7. Диз’юнкція виражається через кон’юнкцію і суму за модулем два:

.

8. Диз’юнкція виражається через імплікацію:

.

9. Заперечення виражається через штрих Шеффера, стрілку Пірса, еквівалентність і суму за модулем два:

.

10. Кон’юнкція виражається через штрих Шеффера:

.

11. Диз’юнкція виражається через стрілку Пірса:

.

12. Виконуються закони тотожності (ідемпотентності):

.

13. Виконуються властивості одиниці й нуля:

, .

14. Виконуються властивості заперечення:

(закон виключення третього),

(закон суперечності),

.

15. Для функцій кон’юнкції й диз’юнкції справедливі тотожності:

, .

Використовуючи таблиці істинності, покажемо справедливість законів, наприклад, 7 і 8: , :