Алгебра логіки

Алгебра логіки є одним з основних розділів дискретної математики, а функції алгебри логіки — одним з основних об’єктів дискретної математики.

Частина 2. ФУНКЦІЇ АЛГЕБРИ ЛОГІКИ

2.1. Алгебра Буля і алгебра логіки

Визначення 2.1. Алгеброю Буля¹ (або булевою алгеброю) називають визначену на множині алгебричну структуру з однією унарною операцією ( ) і двома бінарними операціями ( і ), для якої справджуються аксіоми:

; ; ; ;

; ; ; ;

; .

Якщо в алгебрі, носієм якої є множина , крім вказаних операцій , використовують також інші операції, а елементи множини відповідно інтерпретують як “ні” і “так” або “хибність” і “істина”, то таку алгебру називають алгеброю логіки, або двозначною логікою, а її змінні — логічними змінними. В алгебрі логіки операції булевої алгебри є логічними операціями і їх відповідно називають запереченням, диз’юнкцією і кон’юнкцією². Ці операції мають такі пріоритети: найвищий — заперечення, далі йде кон’юнкція, найнижчий — диз’юнкція. Порядок виконання операцій можна змінити за допомогою дужок; якщо над частиною виразу стоїть знак заперечення, то він виконує роль дужок.

Визначення 2.2. Логічною функцією (чи просто булевою функцією) називають функцію виду , кожен з n аргументів якої визначений на двохелементній множині , і таку, що f( ) . Отже, для логічної функції область визначення (це множина всіх двійкових n-вимірних векторів виду ), а множина значень . Множину наборів значень змінних із , на яких функція набуває значень 1, позначають .

Нехай логічна функція залежить від n змінних (аргументів). Можливі набори значень змінних називають інтерпретаціями. Кількість різних інтерпретацій для n змінних дорівнює , а кількість усіх функцій від n змінних дорівнює .

Приклад 2.1. Якщо функція залежить від двох змінних, то можливими інтерпретаціями (наборами значень змінних) є такі набори: , , і . Усіх можливих функцій є і ці функції набувають на вказаних інтерпретаціях таких значень: , , , , , , , , , , , , , , , . Для функцій трьох змінних можливих інтерпретацій є , а всіх таких функцій — .

Будь-яку логічну функцію можна задати:

1) таблично — за допомогою таблиці істинності, вказуючи її значення на кожній інтерпретації;

2) вектором її значень відповідно до табличного задання функції, вважаючи, що послідовність інтерпретацій відповідає послідовності двійкового подання десяткових чисел від 0 до ( );

3) аналітично — в алгебрі Буля за допомогою формули, яка містить диз’юнкцію елементарних кон’юнкцій або кон’юнкцію елементарних диз’юнкцій і при цьому в кожну елементарну кон’юнкцію чи диз’юнкцію змінні входять зі знаком заперечення чи без нього; в алгебрі логіки за допомогою формули, в якій використовують різні її операції.

Приклад 2.2. Задамо логічну функцію трьох змінних , використовуючи різні способи.

Задамо за допомогою таблиці істинності:

Цю саму функцію задамо вектором її значень:

або для спрощення запису подамо цей вектор без ком: .

Дану функцію також задамо аналітично за допомогою формул (таке задання не є єдиним), наприклад:

;

;

;

;

;

тощо.

Крім вказаних способів, логічну функцію при невеликій кількості змінних також можна подати геометрично. Геометричне подання логічної функції — це зображення n-вимірного одиничного куба з множиною вершин ; як правило, в цьому кубі виділяють вершини множини , в яких функція набуває значень 1. Одиничний n-вимірний куб можна подати в звичайній декартовій системі координат або булевим кубом (діаграмою Хассе³). Зауважимо, що назва “булів куб” є узагальнювальною, оскільки для функції однієї змінної це буде вертикальна пряма лінія, у якої початок має координату 0, а кінець — координату 1, для функц ії двох змінних це буде ромб, вершини якого мають координати , , , , а для функції трьох змінних це справді буде куб.

П риклад 2.3. На рис. 1(а) геометрично подано логічну функцію трьох змінних в декартовій системі координат, а на рис. 1(б) — за допомогою булевого куба:

(а) (б)

Рис. 1. Геометричне подання логічної функції в декартовій

системі координат (а) і булевим кубом (б)

Визначення 2.3. Змінну логічної функції називають фіктивною, або неістотною, якщо зміна її значення не змінює значення самої функції, тобто:

.

Інакше змінну називають істотною.

Якщо вилучити фіктивну змінну, то нова функція залежатиме від змінної, а значення логічної функції не зміниться:

.

Визначення 2.4. Дві логічні функції f і g називають рівними, якщо на однакових наборах значень змінних вони мають однакові значення або якщо вони можуть бути одержані одна з одної шляхом вилучення або, навпаки, додавання фіктивної змінної.

Надалі множину всіх логічних функцій позначимо через , а множину всіх логічних функцій від n змінних — через ; при цьому .