10. Жесткие задачи

Некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ)

не решаются ни одним из рассмотренных методов. Чтобы понять,

почему это так, рассмотрим структуру ДУ.

В общем случае ДУ n-го порядка имеют n постоянных времени.

Если одна из постоянных времени достаточно мала по сравнению с

шагом интегрирования, то задача называется жесткой и ее трудно

решить обычными методами.

В таких случаях шаг должен быть достаточно мал, чтобы можно

было учитывать изменения наиболее быстроизменяющихся членов

уравнения. В противном случае решение становится неустойчивым.

Если величина шага очень мала по сравнению с интервалом, на

котором отыскивается решение, то для получения решения

потребуется очень много времени. А накапливающиеся в процессе

длительных вычислений погрешности округления могут привести к

получению бессмысленного результата. Рассмотрим, например,

систему:

Если u(0) = v(0) =1, то решением будут

После очень небольшого промежутка времени решение весьма

близко к функциям:

Большинство стандартных методов не приспособлено для

решения жестких уравнений. Поэтому были изобретены специальные

методы. Простейшим из них является так называемый неявный метод

Эйлера, выражаемый формулой

Работу неявного метода Эйлера покажем графически

Разработка эффективных методов для жестких уравнений

является областью активных исследований.

11.Принципы Имитационное моделирование технических систем.

Любое воспроизведение в машине сложного динамического процесса с последующим анализом множества вариантов его течения, стали называть имитацией.

Исследуемый объект при имитационном моделировании представляют в виде конечной суммы элементарных звеньев, параметры которых находятся по экспериментальным или теоретическим данным.

Имитационная математическая модель позволяет воспроизвести в ЭВМ физические процессы, которые описываются теми же ДУ, что и процессы, протекающие в исследуемом объекте или системе. Благодаря этому можно изучить свойства объекта еще до того как он будет построен или исследовать его работу в особых, имеющих определенное значение, режимах.

Объекты моделирования рассматриваются нами, как сложные технические системы, состоящие из совокупности взаимодействующих элементов. Они могут включать в себя электрические, механические, гидравлические, пневматические, электронные и другие компоненты.

Их функционирование описывается переменными, связанными с механическими и электромагнитными явлениями, свойствами движущихся жидкостей и газов и т. д. Такие системы называют динамическими системами.

Математическая модель динамической системы представляет собой систему обыкновенных ДУ, которая в нормальной форме Коши имеет вид:

где - вектор фазовых координат; t - независимая переменная (время).

Задача моделирования таких объектов состоит в определении оптимальных параметров и структуры исходя из заданного описания внешней среды и технических требований к объекту.

Динамическая модель технического объекта

Построение математической модели технического объекта

осуществляется на основе его динамической модели. Динамическая

модель - это абстрактное графическое отображение основных

физических свойств технического объекта и характеристик его

взаимодействия с внешней средой [13].

Структура динамической модели представляется в виде

совокупности взаимодействующих элементов и её сложность зависит

от степени абстрагирования при отображении физических свойств

объекта. При построении динамических моделей используют

следующие методы:

- методы сеток;

- метод функционально законченных элементов;

- метод сосредоточенных масс.

Методы сеток подразделяют на метод конечных разностей и

метод конечных элементов. Они обычно используются при

построении алгоритмической модели на микроуровне в системах с

распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными

уравнениями в частных производных.

Метод функционально законченных элементов основан на

выделении типовых элементов технического объекта, завершенных в

конструктивном отношении и предназначенных для выполнения

определенных функций (например, в гидромеханической системе -

участок гидромагистрали, золотниковый клапан, дроссель, обратный

клапан, насос, гидромотор и т. д.)

Наиболее часто при построении динамической модели

используют метод сосредоточенных масс. Этот метод применим,

если система имеет ярко выраженный дискретный спектр

собственных частот. Это характерно для технических объектов, у

которых масса распределена в пространстве неравномерно.

Например, в механической системе автомобиля масса вращающихся

деталей в основном сосредоточена в маховике двигателя, крупных

шестернях трансмиссий, колесах, имеющих большие радиальные

размеры и обладающих большими моментами инерции, а

соединяющие их детали (валы, муфты, карданные передачи и др.)

имеют малые радиальные размеры и массу, но обладают

существенными упругими свойствами.

Из названия метода следует, что он предназначен для

моделирования технических объектов, мерой инертности элементов

которых служит масса.

Сосредоточенные массы обладают инерционными свойствами и

способностью накапливать кинетическую энергию. Их называют

инерционными элементами.

Взаимодействие сосредоточенных масс осуществляется

посредством упругих, диссипативных, фрикционных и

трансформаторных элементов.

Упругие элементы отображают упругие свойства динамической

системы. Они обладают способностью накапливать потенциальную

энергию.

Диссипативные элементы отображают свойство диссипации

(рассеивания энергии) конструктивными элементами технического

объекта, обусловленное силами внутреннего трения,

пропорциональными относительной скорости перемещения

взаимодействующих сосредоточенных масс (или сосредоточенных

масс относительно внешней среды, например, при движении

жидкости в трубопроводе).

Трансформаторные элементы отображают безинерционное

преобразование параметров потока энергии, осуществляемое

техническими устройствами, называемыми трансформаторами.