29

Дисциплина "Основы алгоритмизации и структурное программирование"

Лекционный курс

1. Постановка задачи. Понятие алгоритма. Типы алгоритмов. Способы задания и исполнение алгоритма

1.1. Виды информации, используемой в задачах. Постановка задачи

Каждая задача предполагает наличие и последующее преобразование некоторой информации. Величины, используемые при решении задачи, бывают постоянными (не изменяются в процессе решения задачи) и переменными. Значение, которое переменная величина принимает в заданный момент, называют текущим. Если переменная не получила никакого значения, то ее называют неопределенной. При записи метода решения задачи всем используемым постоянным и переменным величинам присваивают имена (идентификаторы).

По типу одиночных значений, информация может представлять собой следующие объекты:

1) целые числа, например: 1; -29; 102;

2) вещественные числа, имеющие в своей записи разделяющую запятую, например: 1,5; 2,0; 0, 01;

3) логические величины, принимающие значения ”истина” или ”ложь”, которые обозначают, соответственно, 1 и 0;

4) символьные значения (любой разрешенный символ, в том числе – цифра, которая не воспринимается как число), например: А; №; &; 5; $;

5) литерные (строковые) значения, представляющие собой слова или текст (обычно данные величины выделяют кавычками), например: ”ответ=”; ”решение задачи:”; ”А=5.2”.

Первые 4 перечисленных типа относятся к простым типам, определяющим только одиночную величину. Структурированные типы данных задают наборы, состоящие из величин одного или разных типов. Характерным видом структурированных данных являются строковые значения 5), которые состоят из отдельных символьных величин.

Наряду со строковыми при решении задач наиболее часто используемыми структурированными данными являются массивы - совокупности из одиночных величин одного типа. Одномерные (линейные) массивы представляют собой заданные перечислением наборы, для которых используется единая сквозная нумерация. Обозначения номеров элементов массива могут начинаться с 0 либо с 1. В первом случае весь массив М длины n обозначают как М[1: n], во втором случае – как М[0:(n-1)]. Элемент массива М с номером i обозначают как М[i] (или М(i)) .

Двумерные массивы однотипных объектов называют таблицами или матрицами. У них первое измерение задает номер строки, а второе – номер столбца, в котором находится элемент. Если нумерация элементов массива начинается с 1, то таблицу Т, имеющую n строк и m столбцов, обозначают как Т[1: n; 1: m], Элемент таблицы, стоящий в строке с номером 4 и столбце с номером 7, обозначают в этом случае как Т[4,7] (или Т(4,7)) .

Как правило, вначале каждую задачу формулируют словесно. Существенным этапом в последующем решении является ее постановка в математической форме. Она подразумевает однозначное задание некоторой исходной информации, которая необходима для решения задачи (аргументы задачи), и реальной цели (выходной информации, результата задачи), которая должна быть достигнута в итоге решения.

Обозначим множество исходных данных (аргументов) задачи через Е, а множество выходных данных (результат) - через R. В задаче требуется определить R по заданным значениям Е. Рассмотрим постановку простейших задач.

Пример 1. Дать постановку задачи по определению площади прямоугольника.

Решение. Анализ показывает, что площадь прямоугольника определяется его длиной и шириной, которые в общем случае являются вещественными числами. Обозначим их через a и b. Площадь прямоугольника - также вещественное число. Обозначим его через S. С учетом данных обозначений постановка задачи принимает следующий вид:

1. Название задачи - определение площади прямоугольника.

2. Исходная информация – два вещественных числа: длина прямоугольника a и ширина прямоугольника b.

3. Цель задачи: рассчитать площадь прямоугольника S.

Таким образом, у данной задачи: Е={a,b}, R ={ S }.

Пример 2. Дать постановку задачи определения величины и номера минимального элемента в вещественном числовом массиве.

Решение. Входными данными задачи являются: длина массива, которая является целым числом и сам массив вещественных чисел. Обозначим их, соответственно, через n и М[1: n]. Номер искомого минимального элемента (целое число) обозначим через i_min, величину минимального элемента (вещественное число) - через М_min.

Постановка задачи:

1. Название задачи - определения величины и номера минимального элемента в вещественном числовом массиве.

2. Исходная информация – два вещественных числа:

а) длина исходного массива - целое число n,

б) массив вещественных чисел М[1: n].

3. Цель задачи: определить величину М_min (вещественное число) и номер i_min (целое число) минимального элемента в заданном массиве.

Е = {n, М[1: n]}, R = { М_min, i_min }.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие типы величин используются при решении задач?

2. В чем отличие простых типов данных от структурированных? Назовите примеры данных обоих типов.

3. Назовите основные составляющие математической постановки задачи.

Практические задания.

1. Дать словесную формулировку задачи расчета периметра треугольника, заданного в декартовой системе координатами его вершин А(х_А,у_А), В(х_В,у_В), С(х_С,у_С).

2. Дать словесную формулировку задачи расчета площади треугольника, заданного длинами его сторон а, b, c.

3. Дать словесную формулировку задачи определения суммы элементов линейного числового массива М[1: n].

1.2. Понятие алгоритма. Словесное задание алгоритмов

Понятие алгоритма первично. Словесно алгоритм можно определить как последовательность точно сформулированных и однозначно определенных действий по решению поставленной задачи. Данные основные свойства алгоритмов обеспечивают практическую возможность их выполнения (и, соответственно, решения задач) при помощи вычислительных машин. Исторически термин «алгоритм» произошло от имени великого среднеазиатского ученого 8–9 вв. Аль-Хорезми как его перевод на латинский язык (Хорезм – область современного Узбекистана).

Свойства алгоритма.

1. Понятность и однозначность. Все действия алгоритма должны быть понятны его исполнителю и допускать единственное толкование.

2. Детерминированность. Для одинаковых входных данных алгоритма выдает строго определенные одинаковые выходные данные.

3. Массовость применения. Алгоритм предназначен для решения целого класса однотипных задач. Например, для сложения двух целых чисел вариантов таких пар - бесконечное множество.

4. Результативность. Алгоритм выдаёт уникальный и предполагаемый результат для заданных входных данных.

Основные способы записи алгоритмов.

1. Словесное описание - используется естественный язык.

2. Графическое. С помощью специальных изображений, которые называют блок—схемами.

3. С помощью алгоритмических языков - специальных языков, предназначенных для записи алгоритмов в форме, удобной для реализации их на вычислительных устройствах. Среди них различают учебные алгоритмические языки, на которых производится обучение, и языки программирования, предназначенные для решения задач на ЭВМ.

С учетом введенных обозначений множеств Е и R задача алгоритма заключается в определении выходных данных (результата задачи R) по ее заданным входным данным (аргументам Е). Обозначим алгоритм решения задачи через А. Тогда связь множеств Е и R с помощью А можно условно представить в следующем виде: R = А(Е).

Словесное описание алгоритмов. Исторически первым способом задания алгоритмов является словесное описание, при котором необходимые действия задают в свободном изложении с использованием необходимых математических формул. Как правило, при словесном задании алгоритма все необходимые в нем действия разбивают на линейно упорядоченную последовательность шагов. По умолчанию (если иной порядок не оговаривается) шаги выполняются один за другим в порядке возрастания их номеров.

В качестве примеров словесного описания алгоритмов рассмотрим задачи из примеров 1 и 2 п. 1.1.

Пример 3. Дать словесное описание алгоритма расчета площади прямоугольника с учетом постановки задачи, данной в примере 1.

Решение. Зависимость результата от аргументов задачи R = А(Е) в данной задаче принимает форму: {S} = А({a,b}). Последовательность действий по получению S состоит всего из одного шага – умножения a на b и присваиванию полученной величины переменной S: S = a  b. Таким образом, словесно искомый алгоритм А можно представить в виде следующей записи:

Шаг 1. S = a  b.

Действия, выполняемые алгоритмом, составляют тело алгоритма. В примере 3 дано тело алгоритма. Полным описанием алгоритма А называют совокупность, состоящую из:

I) названия алгоритма с указанием аргументов Е и результатов задачи R;

II) вспомогательная информация (комментарий), поясняющая назначение алгоритма;

III) тело алгоритма.

Таким образом полное описание алгоритма наряду с описанием задачи содержит метод ее решения (тело алгоритма) и поясняющие комментарии к нему.

Пример 4. Дать полное словесное описание алгоритма определения величины и номера минимального элемента в вещественном числовом массиве с учетом постановки задачи, данной в примере 2.

Решение. Зависимость результата от аргументов задачи имеет вид: {М_min, i_min}=А({n,М[1:n]}). Для решения задачи путем перебора вначале в качестве минимального элемента примем первый элемент массива, а затем будем сравнивать его со всеми последующими элементами, при необходимости уточняя его. Для перебора элементов массива используем вспомогательную целочисленную переменную i . Словесно искомый алгоритм А представим в виде набора из 5 шагов. Вставляя перед телом алгоритма его название и поясняющий комментарий, получим его полное словесное описание:

I Название алгоритма, аргументы Е и результаты R. Алгоритм определения величины и номера минимального элемента в вещественном числовом массиве. Аргументы: Е = {n, М[1: n]}, результаты R ={М_min, i_min}.

II Комментарий. Решение задачи производится путем перебора элементов массива.