21. Компонентные и топологические уравнения тепловой системы.

В тепловой системе переменной типа потенциала является температура Т (К), а типа потока – тепловой поток Ф (Вт или Дж/с).

Рассмотрим одномерный процесс теплопередачи в твердом теле, полагая, что передача тепловой энергии осуществляется только вдоль оси х.

Разделим твердое тело вдоль оси на отрезки длиной l, осуществив тем самым дискретизацию сплошной среды.

Изменение тепловой энергии dQ в каждом дискретном элементе пропорционально приращению его температуры dT. В результате можно записать следующее уравнение теплового баланса:

где - теплоемкость дискретного элемента (Дж/К).

Величина теплоемкости определяется по формуле

где С – удельная теплоемкость материала (Дж/кгК),

V – объем дискретного элемента (м³).

Изменение тепловой энергии в единицу времени представляет собой тепловой поток

Поэтому уравнение запишем в виде

Оно является компонентным уравнением упругого элемента тепловой системы.

Диссипативные свойства тепловой системы описываются уравнением Фурье. В одномерном случае уравнение Фурье имеет вид

где q – плотность теплового потока (Дж/см²)

- коэффициент теплопроводности, Дж/(см^оК).

Плотность теплового потока определяется отношением

где А – площадь поверхности контакта дискретного элемента с источником тепловой энергии или со смежным дискретным элементом, м².

Заменим производную Т/х отношением конечной разности

где , - температуры в узлах дискретизации 1 и 2, т. е. на границах выделенных элементов твердого тела,

l – длина дискретного элемента.

Подставим значение q и Т/х в уравнение

Введём обозначение

где - коэффициент теплового сопротивления дискретного элемента, (Дж/сК).

получаем компонентное уравнение диссипативного элемента тепловой системы

где .

В этом случае коэффициент теплового сопротивления определяется по формуле :

где  - коэффициент теплообмена (теплоотдачи) через конвекцию (Дж/см²К).

Инерционными свойствами тепловая система не обладает.

Топологические уравнения имеют вид:

Первое уравнение выражает условие равновесия потенциалов на поверхностях контакта дискретных элементов. А второе – условие непрерывности функции температуры.

23. Электромеханические аналогии. Математическая модель механизма с одной степенью свободы.

Рис. 1

Подвергнем исходную систему декомпозиции, разделив ее на три подсистемы. Составим для подсистем эквивалентные электрические схемы.

Эквивалентная электрическая схема для подсистемы 1:

Рис. 2.

Эквивалентная электрическая схема для подсистемы 2:

Рис3

Эквивалентная электрическая схема подсистемы 3:

Рис4

Выполнив композицию, построим обобщенную эквивалентную электрическую схему системы. Применяя методы теории электрических цепей, получим нормальную систему дифференциальных уравнений механизма. Применяя преобразование Лапласа, находим передаточные функции элементов механизма и строим структурную схему динамической модели.

24. Плоское прямолинейное движение звеньев В качестве первого примера возьмём диск радиуса r, катящийся

по плоской поверхности под действием внешней силы T,

приложенной к центру диска Под действием силы T тело вращается по часовой стрелке со

скоростью w. Силами сопротивления здесь являются инерционная

сила Fи и сила трения FТР.

Составим уравнение равновесия указанных выше сил

и уравнение действующих на тело моментов

6,7где

6,8 Уравнения (6.7-6.8) служат основой для построения

эквивалентной электрической схемы (рис. 6.21). Эта схема строится в

два этапа. Вначале следует вычертить нижний контур, в котором

напряжения и э. д. с. должны соответствовать уравнению равновесия

сил (6.7). На втором этапе чертим верхний контур, отвечающий

уравнению равновесия моментов (6.8). Заметим, что в уравнении (6.8)

момент трения TP M определяется в виде произведения силы трения

TP F на радиус r . Чтобы выполнить операцию умножения, в электрическую схему введен трансформатор с коэффициентом

трансформации r .

Уравнения трансформатора включают соотношения для

напряжений, токов и скоростей изменений токов

Далее приступаем к построению сети связей физических

величин. Для этого в уравнении (6.7) выносим вправо инерционную

составляющую u F (см. параграф 6.2). Сеть связей состоит из шести

ветвей (рис.6.22).

С помощью сети связей определяем передаточные функции

элементарных звеньев (табл. 6.6).

Чтобы перейти от сети связей к структурной схеме

динамической системы, записываем передаточные функции

элементарных звеньев и заменяем в сети связей ветви на

передаточные функции этих звеньев.