Логические основы эвм

В 1854 г. Джон Буль положил начало математической логике. Около 30 лет назад оформилась в самостоятельную дисциплину.

Математическая логика изучает только рассуждения со строго определенными объектами и суждениями, для которых возможно однозначно решить «истины» они, или «ложны». Большинство устройств ЭВМ состоит из компонентов с двумя устойчивыми состояниями и их удобно описывать на наборе логических функций принимающих значения { 0; 1 }.

Логические функции характеризуются таблицами истинности.

НЕ    Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком  ).   Высказывание  истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.   Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" ( ).

И    Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " ^. " (может также обозначаться знаками  или &). Высказывание А ^. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание   "10 делится на 2 и 5 больше 3"   истинно, а высказывания     "10 делится на 2 и 5 не больше 3",     "10 не делится на 2 и 5 больше 3",     "10 не делится на 2 и 5 не больше 3"     —   ложны.

ИЛИ    Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.   Например, высказывание   "10 не делится на 2 или 5 не больше 3"   ложно,     а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3",   "10 делится на 2 или 5 не больше 3",   "10 не делится на 2 или 5 больше 3"     —   истинны.

ЕСЛИ-ТО   Операция, выражаемая связками   "если ..., то",  "из ... следует",  "... влечет ...",  называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком  . Высказывание     ложно тогда и только тогда, когда  А  истинно,  а  В  ложно.

Представление числовой информации:

Представление чисел в памяти компьютера имеет специфическую осо­бенность, связанную с тем, что в памяти компьютера числа должны рас­полагаться в байтах — минимальных по размеру адресуемых ячейках па­мяти. Адресом числа считают адрес первого байта. В байте может содер­жаться произвольный код из восьми двоичных разрядов. Существуют два основных формата представления чисел в памяти компьютера. Один из них используется для кодирования целых чисел, а второй для кодирования действительных чисел. Целые числа представляются в формате с фиксированной запятой, а действительные - в формате с плавающей точкой. Алфавит компьютера состоит всего лишь из двух знаков: 0 и 1. Все числа в компьютере и представляются с помощью этих двух знаков. Если говорить о том, как мы с вами записываем числа, то легко заметить, что мы это делаем всего лишь с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Например, число 234 означает, что в числе 2 сотни, 3 десятка и 4 единицы. мы с вами работаем с числами в позиционной системе счисления и представляем число как сумму цифр умноженных на соответствующую степень десяти, то есть в десятичной системе счисления. Компьютер же работает с числами, записанными в двоичной системе. В этой системе счисления всего лишь две цифры: 0 и 1, а числа записываются по степеням двойки.

Система счисления :

В современной информатике используются в основном три системы счисления (все – позиционные): двоичная, шестнадцатеричная и десятичная.

Двоичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является  вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1.

Шестнадцатеричная система счисления  используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь – специалист в области информатики. В такой форме представляется содержимое любого файла, затребованное через интегрированные оболочки операционной системы, например, средствами Norton Commander в случае MS DOS. Используемые знаки для представления числа – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F.

Десятичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является так называемый конечный пользователь – неспециалист в области информатики (очевидно, что и любой человек может выступать в роли такого потребителя). Используемые знаки для представления числа – цифры от 0 до 9.

Перевод чисел в позиционных системах счисления:

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют определенные правила. Они различаются в зависимости от формата числа – целое или правильная дробь. Для вещественных чисел используется комбинация правил перевода для целого числа и правильной дроби. Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основание той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

Перевод чисел в десятичную систему счисления:

Перевод чисел в десятичную систему счисления основан на представлении числа в развёрнутом виде (в виде суммы разрядных единиц).Вспоминаем материал 5 класса по математике:Записываем десятичное число в виде суммы разрядных единиц и вычисляем его значение.

156,43₁₀=1*10²+5*10¹+6*10⁰+4*10^-1+3*10^-2=156,43₁₀

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы:

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную:

а) исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (на 2 - при переводе в двоичную систему счисления или на 16 - при переводе в шестнадцатеричную); получается частное и остаток;

б) если полученное частное меньше основания системы счисления, в которую выполняется перевод, процесс деления прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);

в)  все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей перевода в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

г) формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.

Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную

Число в десятичной системе счисления делим на основание степени (восьмерку). Получаем какую то целую часть и остаток. Если целая часть больше либо равна 8, то опять делим на основание степени и получаем целую часть и остаток. Как только целая часть становится меньше восьми, начинаем выписывать, сначала последнюю целую часть, а затем все остатки в обратном порядке. Это и будет число в новой системе счисления, в нашем случае в восьмеричной.