Тема 3 (6). Закон больших чисел.

Содержательные теоремы теории вероятностей могут быть получены, если рассматривать не одно событие или случайную величину, а много. Для этого необходим аппарат, позволяющий с тем или иным приближением получать выводы о вероятностях разных событий, связанных с большим числом случайных величин. Одним из звеньев этого аппарата является неравенство Чебышева.

Теорема (неравенство Чебышева).

Для любой случайной величины и любого выполняется неравенство , называемое неравенством Чебышева.

Доказательство.

Справедлива цепочка равенств и неравенств

откуда вытекает требуемое неравенство.

Определение. Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине , если выполняется условие . Обозначается .

Лемма. Пусть - последовательность случайных величин. Для того чтобы последовательность сходилась по вероятности к 0 при , достаточно выполнения условия .

Доказательство.

Применяя неравенство Чебышева, получаем: , , то есть , что и требовалось доказать.

Теорема (Закон больших чисел).

Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, удовлетворяющих условию (равномерная ограниченность дисперсий). Тогда справедливо соотношение

называемое законом больших чисел.

Доказательство.

Введем случайные величины .

Тогда верны равенства .

Покажем, что выполняется условие . В самом деле, имеем:

Следовательно, , то есть , что и доказывает утверждение теоремы.

Следствие. Пусть - последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин, причем при всех . Тогда выполняется условие , .

Доказательство.

В данном случае имеем: . Тогда по закону больших чисел получаем: то есть , что и требовалось доказать.

Контрольные вопросы.

1. Как определяется независимость случайных величин?

2. Как формулируется критерий независимости случайных величин?

3. Какими свойствами обладают независимые случайные величины?

4. Как определяется коэффициент корреляции?

5. В каких пределах может находиться коэффициент корреляции?

6. Как формулируется формула Бернулли?

7. Как вычисляется математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Бернулли с параметрами , ?

8. Как формулируется теорема Пуассона?

9. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром ?

10. Как определяется ?

11. Чему равно ? ? ?

12. Какие значения могут принимать и параметры в формуле Бернулли?

13. Какие условия накладываются на вероятности в теореме Пуассона?

14. Как формулируется неравенство Чебышева?

15. Как определяется сходимость последовательности случайных величин к случайной величине по вероятности?

16. Какое условие является достаточным для справедливости соотношения ?

17. Как формулируется закон больших чисел?

18. Как формулируется следствие из закона больших чисел?

Тестовые задания

1. Независимость случайных величин необходима для выполнения равенства

   2. 

2. Если случайные величины и независимы, то независимыми являются и

   1. и

   2. и

   3. и

   4. и

3. Если случайные величины и независимы, то выполняются равенства

   2. 

   3. 

   4. 

4. Какое из следующих равенств неверно?

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

5. Какое из данных чисел не может быть значением коэффициента корреляции?

   2. 

   3. 2

   4. 0

6. Если , , , то равен

   1. 0,9

   2. 0,09

   3. 0,3

   4. 0,03

7. Правой частью формулы Бернулли является выражение ( -число опытов, -число «успехов»)

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

8. Если имеет распределение Бернулли с параметрами , , то верны оба равенства

   1. ,

   2. ,

   3. ,

   4. ,

9. Если имеет распределение Пуассона с параметром , то верны оба равенства

   1. ,

   2. ,

   3. ,

   4. ,

10. Если имеет распределение Пуассона с параметром , то равны

    1. 100

    2. 110

    3. 90

    4. 10

11. равно

    1. 5

    2. Не определено

    3. 0

    4. 1

12. Выполнение, какой пары условий требуется в теореме Пуассона?

    1. 

    2. 

    3. 

    4. 

13. Фрагментом доказательства какого утверждения является соотношение

    1. Формула Бернулли

    2. Теорема Пуассона

    3. Неравенство Чебышева

    4. Закон больших чисел

14. Неравенство Чебышева имеет вид

    1. 

    2. 

    3. 

    4. 

15. Условие является достаточным для выполнения соотношения

    1. при

    2. при

    3. 

    4. 

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
б	б	а	б	в	а	в	а	г	б	г	в	в	а	в