Тема 3 (3). Случайные величины и их характеристики.

Определение. Пусть задано вероятностное пространство . Случайной величиной называется отображение множества элементарных исходов во множество действительных чисел .

Замечание. Таким образом, каждому элементарному исходу сопоставляется число .

Пример. Пусть случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух монет, а случайная величина - это количество выпавших гербов. Данную случайную величину можно задать следующей таблицей.

	(цифра, цифра)	(цифра, герб)	(герб, цифра)	(герб, герб)
	0	1	1	2

Определение. Пусть задана случайная величина . Распределением данной случайной величины называется таблица

где - это значения, которые может принимать случайная величина , а - вероятности этих значений. Таким образом, при всех выполняются равенства . Числа удовлетворяют условиям , , .

Пример. Распределение случайной величины из предыдущего примера выглядит так:

	0	1	2

Действительно, ,

,

.

Определение. Пусть задана случайная величина . Математическое ожидание данной случайной величины обозначается и определяется равенством .

Замечание. Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Пример. Математическое ожидание случайной величины из нашего примера равно

.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами:

1). , где - некоторая константа;

2). , где и - случайные величины,

и -действительные числа;

3). ;

4). ;

5). .

Доказательство.

1). ;

2) ;

3) вытекает из 2) при ;

4) вытекает из 2) при ;

5) вытекает из 2) при .

Следующая теорема позволяет вычислять математическое ожидание случайной величины, зная только её распределение.

Теорема. Пусть распределение случайной величины задается таблицей

Тогда математическое ожидание данной случайной величины можно вычислять по формуле .

Доказательство.

Справедлива цепочка равенств

, что и требовалось доказать.

Теорема. Пусть распределение случайной величины задано таблицей

-некоторая функция. Тогда справедливо равенство . В частности, верна формула .

Пример. Если распределение случайной величины задано таблицей

	0	1	2

то выполняются равенства ,

.

Часто бывает важно знать не только среднее значение случайной величины, но и разброс её значений вокруг среднего. Для характеристики разброса служит дисперсия случайной величины.

Определение. Дисперсия случайной величины обозначается и определяется равенством .

Теорема. Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:

1). ;

2).

3). ;

4).

Доказательство.

1).

;

2). ;

3). =

;

4).

.

Определение. Ковариация случайных величин и обозначается и определяется равенством .

Замечание. С учетом данного определения четвертое свойство дисперсии можно записать в виде .