7. Идентификация статических моделей объектов управления
7.1. Общая схема постановки и решения задач статической идентификации
Как было показано, статические модели ТП являются основой решения задач верхнего уровня управления, т.е. задач оптимизации режима ТП. Статические модели необходимы также для решения задач управления нижнего уровня, т.е. задач стабилизации режима. Здесь статические модели служат для формирования матрицы статических коэффициентов усиления H(0) динамической модели ТП, задаваемой передаточной матрицей H(p).
Наибольшее распространение имеют либо гипотетические модели, либо поведенческие (кибернетические) модели. И те, и другие заданы с точностью до неизвестных параметров. В рамках рассматриваемых задач параметрической идентификации неизвестные параметры находятся с использованием экспериментальных данных, полученных в ходе эксплуатации ТП.
В
общем виде речь идёт о формировании
зависимости выходной переменной y
от
ряда входных переменных 
,
заданной с точностью до параметров 
.
,
.
(7.1)
Казалось
бы, для определения l
параметров 
достаточно провести l
экспериментов,
заключающихся в реализации l
различных
наборов входных воздействий 
и фиксации соответствующих значений
выхода модели (7.1). При этом получим
систему l
уравнений
с l
неизвестными
(7.2)
. . . . . .
решив
которую, найдём неизвестные параметры
,
.
Действительно, так и следует делать в детерминированных условиях, характеризуемых свойством повторяемости экспериментов, когда при одинаковом наборе значений входов модели x, мы всегда получаем те же значения выхода y. Это условие, однако, выполняется далеко не всегда как в силу погрешностей контроля переменных, так и в силу неполного учёта в реальных моделях всех факторов, влияющих на выходную переменную.
Н
апример,
при построении модели y
= a
+ bx
экспериментальные точки на диаграмме
рассеяния не лежат на прямой, соответствующей
графику искомой линейной зависимости
на рис. 7.1. В этих условиях желательно
чтобы она, по возможности, прошла как
можно ближе ко всем экспериментальным
точкам.
Суть подхода к решению подобных задач состоит в том, чтобы использовать для определения l параметров модели (7.1.) не l, а, как правило, гораздо большее число N >> l экспериментов (наблюдений) и затем с применением их результатов свести задачу определения параметров к некоторой задаче оптимизации.
Для сокращения записи формул введём векторные обозначения, а именно:
.
Тогда (7.1) запишется в виде
(7.3)
Результаты
i-го
эксперимента 
будем обозначать 
Введём также в рассмотрение рассогласование
(7.4)
между
модельным 
и измеренным 
выходами моделируемого процесса и
постараемся выбрать значения неизвестных
параметров а
таким образом, чтобы минимизировать по
модулю 
для всех 
.
Формализация
высказанной идеи может быть различной.
Например, можно решать задачу 
или 
,
где К
– любое натуральное число. В общем
случае можно сформировать критерий
минимизации
(7.5)
где
– любая чётная функция 
,
имеющая минимум при 
причём обычно 
.
Задача
(7.6)
Может решаться с применением одного из известных методов поисковой оптимизации (варианты методов перебора, симплексный метод, градиентные процедуры и, в частности, метод наискорейшего спуска, метод штрафных функций при наличии ограничений на оценки параметров).