6.2 Постановка задач для идеальной жидкости

Основными уравнениями являются:

- уравнение неразрывности

, (6.1)

- уравнения движения сплошной среды

, (6.2)

- определяющие соотношения

. (6.3)

Легко видеть, что количество уравнений не совпадает с количеством неизвестных. Для замыкания задачи можно привлечь соотношение (3.4), если известна внутренняя энергия как функция плотности, т.е. необходимо знание калорического уравнения. Заметим, что калорические уравнения справедливы для равновесных процессов. В случае движения идеальной жидкости вопрос равновесного процесса требует своего обоснования. Для использования методов термодинамики вводится гипотеза локального или целлюлярного термодинамического равновесия, согласно которой в каждом бесконечно малом объеме считается выполненным условие такого равновесия. При переходе от одного бесконечно малого объема к другому равновесные состояния различны, но в каждом из них они имеют место. Такая гипотеза справедлива для многих процессов, и нарушается только на фронте ударной волны, в среде высокотемпературной плазмы и еще в некоторых редких процессах. Все вышесказанное позволяет использовать вместо калорических термические уравнения идеального газа, например, уравнение Клайперона-Менделеева для изотермического процесса (2.4)

. (6.4)

Это уравнение хорошо описывает процессы, протекающие в средах, где параметры мало меняются в окрестности границ нормальных условий: давление близко к атмосферному, температура близка к комнатной и т.д. Если рассматриваются усложненные процессы, то можно использовать соответствующие им, известные термические уравнение: Ван-дер-Ваальса, Дейтеричи, или другие.

Для выделения единственного решения из системы уравнений (6.1) - (6.4), необходимо использовать начальные и граничные условия.

Начальные условия. Рассматривая задачу в эйлеровых координатах, замечаем, что частную производную по времени имеют плотность и скорость. Поэтому в начальный момент времени должны выполняться условия

. (6.5)

Граничные условия. Рассмотрим два наиболее часто встречающихся случая.

1. Жесткая стенка. Нормальная составляющая скорости равна нулю: .

2. Свободная поверхность. Задана нормальная составляющая вектора напряжения

6.3 Постановка задач для вязкой жидкости

Основными уравнениями являются уравнение неразрывности (6.1), уравнения движения сплошной среды (6.2), определяющие соотношения

. (6.6)

Здесь также как и для идеальной жидкости, вместо калорического уравнения можно с использованием гипотезы локального термодинамического равновесия рассмотреть одно из термических уравнений, например уравнение (6.4).

Для выделения единственного решения добавляем начальные и граничные условия.

Начальные условия. Изменение определяющих соотношений не внесло новых производных по времени. Поэтому начальные условия для вязкой жидкости формулируются так же как и для идеальной, т.е. в виде (6.5).

Граничные условия.

1. Жесткая стенка. Условие полного прилипания: .

2. Свободная поверхность. Задан вектор напряжения .

6.4 Постановка задач линейно упругого тела

Принимая условия геометрически линейного тела, отмечаем, что лагранжевы координаты совпадают с эйлеровыми. Далее можем с достаточной степенью точности считать, что субстанциональная производная по времени равна частной производной по времени, т.е. . Но из векторного равенства , после дифференцирования по времени, имеем . Теперь . Кроме того, в уравнении неразрывности второе слагаемое связано со скоростью изменения объема, и поэтому, оно мало по сравнению с первым слагаемым. Это позволяет считать плотность постоянной величиной в течение всего процесса упругого деформирования. Но тогда можно отказаться от уравнения неразрывности, которое служит для описания эволюции изменения плотности во времени. Полная система уравнений теперь будет содержать видоизмененные уравнения движения

, (6.7)

Эту систему дополняем обобщенным законом Гука

. (6.8)

Но тензор деформации связан с вектором перемещения соотношениями Коши

. (6.9)

Для выделения единственного решения добавляем начальные и граничные условия.

Начальные условия. В уравнениях (6.7) – (6.9) только вектор скорости имеет вторую производную по времени. Поэтому начальные условия для упругого тела формулируются в виде

. (6.10)

Граничные условия. Рассмотрим случай. когда на части поверхности задан вектор напряжений , а на другой части задан вектор перемещений, причем

На :

. (6.11)

На :

. (6.12)