5 Модель линейно упругого тела

Рассматривается изоэнтропический и адиабатический процесс, для которого выполняются следующие соотношения

.

Термодинамическую функцию внутренней энергии представляем в виде

.

Используем также дифференциальную форму закона сохранения энергии (3.1), который в предположении характера рассматриваемого процесса можно записать в виде

. (5.1)

Будем рассматривать условия геометрически линейной механики. В этом случае деформированное состояние описывается линейным тензором деформации Коши, а тензор скоростей деформации равен производной по времени от тензора деформаций. Кроме того, используем симметрию тензора напряжений. Найдем производную по времени от функции внутренней энергии и подставим ее в (5.1)

.

В силу произвольности тензора деформаций, получаем

. (5.2)

Получили, что тензор напряжений является термодинамической функцией, значит, он зависит от тех же параметров, что и внутренняя энергия, т.е.

.

Выберем некоторое состояние системы, определяемое значением параметра деформации , и разложим функцию напряжений в ряд Тейлора в окрестности этого состояния, ограничиваясь слагаемыми первой степени, считая, что деформации мало меняются в окрестности этого состояния. Этому условию удовлетворяют многие упругие тела при нагрузках, не превышающих некоторого допустимого порога.

Тензор четвертого ранга называется тензором упругих постоянных. Пусть в состоянии напряжения принимают значение . Тогда предыдущее равенство можно переписать в приращениях

.

В теории упругости вводится гипотеза натурального состояния, согласно которой деформации и напряжения отсчитывают от начального состояния, т.е. в этом случае приращения деформаций и напряжений становятся просто деформациями и напряжениями, а предыдущее равенство записывается в виде

. (5.3)

Полученное соотношение носит название обобщенного закона Гука. В силу симметрии тензора напряжений и тензора деформаций, а также в силу соотношения (5.2) тензор обладает следующими видами симметрии

.

Т.е. в самом общем случае анизотропии тензор упругих констант может иметь 21 независимую компоненту. Если же материал изотропный, то количество независимых констант в этом случае уменьшается до 2, а закон (5.3) можно переписать в виде

,

где - параметры Ламе. Обычно для определения упругих констант проводят эксперименты. Для изотропных тел из экспериментов на растяжение стержней и тонких пластин можно определить модуль Юнга материала и коэффициент Пуассона . Тогда параметры Ламе выражаются через них по следующим формулам

.

6 Постановки начально_краевых задач

6.1 О внешних воздействиях

Пусть материальные частицы сплошной среды находятся в объеме , ограниченном поверхностью . Со стороны окружающих тел возможны воздействия на материальные точки сплошной среды.

Если воздействие осуществляется непосредственно на каждую материальную частицу, то в этом случае говорят, что на среду действуют массовые силы, которые обозначают . Примером массовых сил могут выступать силы тяжести и силы инерции.

Если воздействие осуществляется только на частицы, находящиеся на поверхности среды, то в этом случае говорят, что на среду действуют поверхностные силы. Примером поверхностных воздействий могут выступать силы контактного взаимодействия с другими телами.

Поверхностные воздействия, в свою очередь, подразделяются на силовые и кинематические. Если окружающие тела предписывают перемещения или скорости точкам поверхности, то говорят, что заданы кинематические условия, например, заданы перемещения . Если внешние воздействия проявляются в виде заданной плотности некоторых сил на поверхности тела, то говорят, что заданы силовые условия, например, вектор напряжений .