ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Скалиух А.С.

Постановка и решение задач в упругих, жидких и газообразных средах

Учебно-методическое пособие

Ростов-на-Дону

2007

Печатается по решению кафедры математического моделирования факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ в рамках проекта K-07-T-41 программы развития ЮФУ.

Ответственный редактор к. ф.-м. н. Скалиух А.С.

Компьютерный набор и верстка к. ф.-м. н. Скалиух А.С.

В данном пособии дается описание систематического подхода установления определяющих соотношений методами термодинамики, формулируется полная система уравнений для простейших жидких, газообразных и твердых тел. Отмечены начальные и типичные граничные условия. Приведены подробные примеры постановки и решения численным методом некоторых задач.

Пособие предназначено для преподавания дисциплин в рамках магистерской образовательной программы «Математическое моделирование и компьютерная механика».

Может быть также использовано студентами и аспирантами факультета математики, механики и компьютерных наук, специализирующихся в области механики твердого деформируемого тела, механики жидкости и газа, математического моделирования и вычислительной математики.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение …………………………………..…………………………… 4

1 Сводка уравнений механики сплошной среды ……….……..… 6

2 Основы термодинамики ……….……………………….……..… 7

2.1 Определения и положения ……………………….……..… 7

2.2 Термические и калорические уравнения …………………... 11

2.3 Первое начало термодинамики применительно к

сплошным средам ……………………………………….….. 12

2.4 Второе начало термодинамики ……………………………. 16

3 Модель идеальной жидкости …………………………………… 19

4 Модель вязкой жидкости …………………………………….. 21

5 Модель линейно упругого тела …………………………………… 26

6 Постановки начально-краевых задач ……………………………. 28

6.1 О внешних воздействиях …………………………………… 28

6.2 Постановка задач для идеальной жидкости ………………. 28

6.3 Постановка задач для вязкой жидкости ……………………… 30

6.4 Постановка задач линейно упругого тела ……………………… 30

7 Пример решения задачи …………………………………………… 32

Заключение …………………………………………………………. 37

Список литературы …………………………………………….…… 7

ВВЕДЕНИЕ

Для решения задач, в которых рассматриваются твердые, жидкие или газообразные среды, необходимо записать полную систему уравнений, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных. При подсчете уравнений, полученных с помощью фундаментальных законов механики, легко убедиться, что число неизвестных и число уравнений не совпадают. Но, с другой стороны, эти уравнения справедливы абсолютно для любой СС, будь то твердое, жидкое или газообразное тело. Для замыкания системы уравнений необходимо привлечь дополнительные уравнения, которые бы выражали свойства, присущие конкретной среде. Такими уравнениями являются так называемые определяющие соотношения. Получить такие уравнения можно различными путями, например, путем обобщения данных эксперимента, или методами статистической физики, путем усреднения по ансамблю корпускулярных частиц соотношений взаимодействия между ними. В данном пособии рассматривается систематический подход на основе энергетического исследования конкретной среды, с последующим установлением связи между внешними и внутренними параметрами. Трудность этого способа заключается в построении двух функций: внутренней энергии и диссипативной функции. Правильная конструкция этих функций основана на интуиции исследователя с определенными навыками. Но, с другой стороны, такой подход является универсальным и позволяет получить определяющие соотношения не только для простых материалов, но и материалов с усложненными свойствами, такими, в которых возможны преобразования одного вида энергии в другой. Например, в пьезокерамических средах механическими нагрузками можно получить электрические заряды на электродах, расположенных на поверхности тела. Энергетический подход содержит в себе достаточную общность. Конкретизация достигается только после привлечения дополнительной информации о групповых свойствах симметрии того или иного материала. Для линейных моделей определяющие соотношения содержат вполне определенный набор констант, которые находятся экспериментальными методами.

Полная постановка задачи связана не только с перечислением основных уравнений механики сплошных сред, но и с формулировкой начальных и граничных условий. Правильная постановка задачи является гарантией точного решения ее численными методами. В настоящем пособии рассмотрен пример решения задач методом конечных элементов. При использовании разработанных конечно-элементных комплексов исследователю нет необходимости проводить дискретизацию задачи и решать системы алгебраических уравнений. Все это выполняется автоматически. Основной задачей данного пособия является выработка навыков правильных постановок задач, т.к. в настоящее время акцент решения задачи смещается в область их правильных постановок.

Актуальность пособия. Широкое внедрение вычислительной техники в исследование многих процессов превращает механику сплошной среды в мощное средство, позволяющее моделировать натуральные конструкции, и проходящие вокруг них явления и процессы. Разработанные вычислительные конечно-элементные комплексы сильно облегчают все вычислительные аспекты. Однако выбор основной системы уравнений, написание граничных и начальных условий полностью находятся в руках исследователя. Только правильное и корректное написание таких уравнений позволяет надеяться на правильное решение, получаемое численно. Это означает, что постановка задач, в которых бы описывались усложненные модели, обладающие свойством математической строгости, принимает первостепенное значение. Все это делает актуальным разработку вспомогательного учебного пособия, в котором рассматриваются корректные постановки задач.

Цели и задачи курса. Настоящее учебное пособие имеет своими целями последовательное изучение основ теории термодинамики и вывод, вытекающих из них уравнений; принципов выбора вспомогательных законов и получающихся определяющих соотношений; описание взаимодействующих физических полей с указанием их места и роли в классических и неклассических моделях МСС. Другой целью является выработка практических навыков математического моделирования механических систем на основе изложенных принципов и законов с применением численных методов и программных средств.

Задачами пособия являются: обеспечение теоретической подготовки в области фундаментальных законов естествознания; приобретение практического опыта в правильной постановке задачи, которые необходимы при использовании современных вычислительных комплексов; тренировка способностей анализа результатов и развитие инженерной интуиции.

Пути достижения. Для достижения поставленных задач необходимо последовательно изучить основы тензорного анализа, основы механики сплошных сред, основы термодинамики и электродинамики. Предлагаемые задачи позволят научиться ставить классические начально-краевые задачи теории упругости, гидромеханики, аэродинамики, задачи по расчету напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций из анизотропных и неоднородных материалов, рассчитывать механические поля в средах.