2. Предельные свойства оценок

Предположим, что в векторе ограничений изменяется только одна i-я компонента, т.е. Δb = (0,…, 0,  , 0,…, 0). Тогда множество допустимых изменений i-й компоненты вектора представляет собой числовой интервал, называемый интервалом устойчивости оценки . В его пределах оптимальная оценка остается неизменной.

Замечание. Интервал устойчивости оценки совпадает с интервалом устойчивости соответствующего ограничения. В задаче с двумя переменными его можно найти графически (см. §5 главы 1), а в общем случае — из анализа оптимального решения прямой задачи.

В этом случае изменение оптимального значения задачи ΔZ^* вычисляется особенно просто: оно равно произведению оптимальной оценки i-го ограничения на величину изменения его правой части.

ΔZ^* = . (3.2)

Формула (3.2) является непосредственным следствием формулы (3.1). Она показывает, что внутри интервала устойчивости оценки i-го ограничения зависимость величины прироста оптимального значения задачи от величины изменения правой части этого ограничения при фиксированных значениях остальных ограничений носит линейный характер.

В общей задаче фирмы все общие ограничения относятся к ресурсному типу. Рассмотрим случай, когда объем i-го ресурса увеличивается на единицу, т.е. Δb_i = 1, а объемы остальных видов ресурсов остаются прежними. Тогда формула (3.2) приобретает такой вид:

ΔZ^* = ,

т.е. дополнительная единица ресурса обеспечивает прирост выручки, равный его оптимальной оценке.

Следовательно, оптимальная оценка ресурсного ограничения допускает такую экономическую интерпретацию: она характеризует предельную эффективность использования ресурса, является количественной мерой его производительности. Ее величина показывает, насколько возрастет оптимальное значение задачи, если объем данного ресурса увеличится на единицу. Итак, чем выше оценка ресурса, тем более он важен для процесса производства.

Если i-я компонента вектора является внутренней точкой интервала устойчивости оценки , то в этом случае из соотношения (3.2) следует, что

. (3.3)

В том случае, когда точка является внутренней точкой области устойчивости, соотношение (3.3) выполнено для всех ограничений. Для этого достаточно, чтобы двойственная задача I^*( ) имела единственное оптимальное решение. Таким образом, справедлива следующая теорема о чувствительности оптимального значения задачи линейного программирования к изменениям правых частей ее ограничений, которую часто называют третьей теоремой двойственности.

Теорема 3.1. Пусть двойственная задача I^*( ) имеет единственное оптимальное решение . Тогда функция Z^* дифференцируема в точке и т.е. скорость изменения оптимального значения задачи как функции правой части одного из ее ограничений равна оптимальной оценке этого ограничения.

Замечание. Условие единственности оптимального решения двойственной задачи можно сформулировать в терминах прямой (исходной) задачи. Так двойственная задача к задаче в канонической форме имеет единственное оптимальное решение, если прямая задача имеет невырожденный оптимальный план. Если прямая задача задана в стандартной форме, то это условие невырожденности оптимального плана выглядит так: число его положительных компонент должно быть равно числу выходящих на равенство (активных) общих ограничений.