5. Решение прямой задачи с помощью двойственной задачи

Иногда решить двойственную задачу проще, чем прямую. Такая ситуация, например, возникает, когда прямая задача имеет более чем две переменных и одно или два ограничения. В этом случае решить ее графическим методом нельзя. Однако этот метод можно использовать для решения двойственной задачи, после чего несложно получить решение прямой задачи.

Пример 2.2. Нужно найти решение следующей задачи:

20х₁ + 45х₂ + 30х₃ mах,

u₁ ↔ 2х₁ + х₂ + 3х₃ ≤ 30,

u₂ ↔ х₁ + 3х₂ + 2х₃ ≤ 20,

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0.

Двойственная задача выглядит так:

30u₁ + 20u₂  min,

х₁ ↔ 2u₁ + u₂ ≥ 20,

х₂ ↔ u₁ + 3u₂ ≥ 45,

х₃ ↔ 3u₁ + 2u₂ ≥ 30,

u₁ ≥ 0, u₂ ≥ 0.

Она содержит две переменных; поэтому ее можно решить графически. Оптимальным будет решение: = 3 и = 14. Значит, по первой теореме двойственности исходная задача также имеет оптимальное решение.

Для его определения подставим оптимальные значения двойственных переменных в ограничения двойственной задачи. Получаем, что первые два из них выполняются как равенства, а в третьем ограничении значение левой части оказывается больше значения правой части: 37 > 30.

Этому ограничению соответствует переменная х₃ прямой задачи. Следовательно, по теореме о дополняющей нежесткости (теорема 2.4) ее оптимальное значение . Так как оптимальные значения двойственных переменных положительны, из этой же теоремы следует, что на оптимальном решении ограничения прямой задачи выходят на равенство.

Таким образом, для нахождения оптимальных значений оставшихся переменных следует решить следующую систему уравнений:

Ее решение таково: и . Следовательно, оптимальным будет план: , и . Сравнение оптимальных значений прямой и двойственной задачи показывает, что они совпадают, и значит по критерию оптимальности решение найдено правильно.

6. Единицы измерения двойственных оценок

Рассмотрим общую задачу линейного программирования и введем следующие обозначения:

[Z] — единица измерения целевой функции;

[b_i] — единица измерения i-го ограничения;

[u_i] — единица измерения двойственной оценки i-го ограничения.

По первой теореме двойственности Z = . Это означает, что размерность целевой функции Z (левой части) должна совпадать с размерностью каждого из слагаемых, находящихся в правой части этого равенства. Таким образом, [Z] = [b_i u_i] = [b_i] [u_i] для всех .

Следовательно, имеет место следующая формула:

,

т.е. единица измерения двойственной оценки ограничения равна отношению единиц измерения целевой функции и этого ограничения.

Пример. 2.3. В задаче фирмы целевая функция измеряется в тысячах рублей (тыс. руб.), ограничение по сырью — в килограммах (кг), по оборудованию — в станко/часах (ст./час), а по труду — в человеко/часах (чел/час). Поэтому единицы измерения оценок ресурсных ограничений таковы:

[u₁] = тыс. руб./кг; [u₂] = ; [u₃] = .

§3. Свойства оптимальных оценок

1. Устойчивость оптимальных оценок

Для того, чтобы использовать оптимальные оценки в экономическом анализе, нужно знать какие изменения в исходных данных не оказывают на них влияния. В §5 главы 1 на примере задачи фирмы было показано, что при небольших изменениях коэффициентов целевой функции решение задачи, как правило, не меняется, оно «устойчиво» к таким изменениям. Так как коэффициентами целевой функции двойственной задачи являются компоненты вектора правых частей ограничений прямой задачи, это означает, что оптимальные оценки устойчивы по отношению к малым изменениям вектора ограничений.

Это свойство играет важную роль в послеоптимизационном анализе задачи линейного программирования. В частности, благодаря устойчивости оценок часто можно найти оптимальное значение задачи с другим вектором правых частей ограничений, не решая ее, а лишь используя информацию об оценках и изменениях в значениях компонент этого вектора. Чтобы получить формулу вычисления прироста оптимального значения, рассмотрим пару двойственных задач в симметричной форме:

Прямая задача I(b):	Двойственная задача I*(b):
Z*(b) = (c, x) → max	W*(b) = (b, u) → min
Ax ≤ b	ATu ≥ c
х ≥ 0	и ≥ 0.

Здесь прямая задача I(b) и двойственная ей задача I^*(b) рассматриваются как задачи параметрического программирования, решения которых зависят от m-мерного параметра — вектора ограничений b.

Пусть  = ( ) — исходное значение вектора ограничений и b = ( ) — его новое значение. Обозначим Δb = b – = (Δb₁ …, Δb_m), где Δb_i = b_i – b_i0 — величина изменения i-й компоненты исходного вектора . Тогда b =  + Δb.

Пусть является оптимальной оценкой в задаче I^*( ). Назовем областью устойчивости оценки u^* множество в пространстве параметров , содержащее все векторы b, для которых она остается оптимальной оценкой в задаче I^*(b). Можно доказать, что эта область является выпуклым многогранным множеством в .

Предположим, что вектор b принадлежит области устойчивости оценки u^*, и обозначим Z^*( ) и Z^*(b) — оптимальные значения прямой задачи, соответствующие векторам и b. Тогда по первой теореме двойственности выполнены равенства:

Z^*( ) = (u^*,  ) и Z^*(b) = (u^*, b) = (u^*,  + Δb) = (u^*,  ) + (u^*, Δb)

и, значит,

Z^*(b) = Z^*( ) + (u^*, Δb) = Z^*( ) + .

Отсюда следует, что величину изменения ΔZ^* оптимального значения прямой задачи можно определить по формуле

ΔZ^* = Z^*( + Δb) – Z^*( ) = . (3.1)

Таким образом, если изменение вектора ограничений находится в пределах области устойчивости оценки u^*, то изменение оптимального значения задачи ΔZ^* вычисляется по формуле (3.1). Из этой формулы видно, что внутри области устойчивости оценки ΔZ^* является линейной функцией от величин изменений компонент вектора ограничений.

Замечание. В том случае, когда двойственная задача I^*( ) имеет единственное оптимальное решение u^*, вектор является внутренней точкой области устойчивости оценки u^*, т.е. при любых достаточно малых изменениях Δb вектор b =  + Δb находится в пределах этой области.